Para reescribir la ecuación en la forma estándar de una elipse, utilizamos la siguiente estructura:

\[
\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1
\]

donde \((h, k)\) es el centro de la elipse, ‘a’ es la distancia desde el centro a los vértices horizontales, y ‘b’ es la distancia desde el centro a los vértices verticales.

 Agrupar los términos en x y los términos en y

Primero, agrupamos los términos que contienen \(x\) y los que contienen \(y\):

\[
(x^2 + 2x) + 4(y^2 – 3y) = -6
\]

 Completar el cuadrado para los términos en x

Para completar el cuadrado en los términos de \(x\), tomamos la mitad del coeficiente de \(x\) (que es 2), lo elevamos al cuadrado (1), y lo sumamos a ambos lados de la ecuación:

\[
(x^2 + 2x + 1) + 4(y^2 – 3y) = -6 + 1
\]

Completar el cuadrado para los términos en y

Para completar el cuadrado en los términos de \(y\), tomamos la mitad del coeficiente de \(y\) (-3/2), lo elevamos al cuadrado (9/4), y lo sumamos a ambos lados de la ecuación. Como el término en \(y\) está multiplicado por 4, debemos sumar \(4 \cdot \frac{9}{4} = 9\) a ambos lados:

\[
(x^2 + 2x + 1) + 4(y^2 – 3y + \frac{9}{4}) = -6 + 1 + 9
\]

 Reescribir como cuadrados perfectos y simplificar

Reescribimos los términos como cuadrados perfectos y simplificamos:

\[
(x + 1)^2 + 4\left(y – \frac{3}{2}\right)^2 = 4
\]

Dividir ambos lados por 4 para obtener la forma estándar

Dividimos ambos lados de la ecuación por 4 para obtener la forma estándar de una elipse:

\[
\frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y – \frac{3}{2})^2}{1} = 1
\]

Identificar el centro, ‘a’ y ‘b’

Ahora que la ecuación está en forma estándar, podemos identificar:

– Centro: \((h, k) = (-1, \frac{3}{2})\)
– a² = 4, entonces \(a = 2\)
– b² = 1, entonces \(b = 1\)

 Hallar los vértices

– Vértices horizontales: El eje mayor es horizontal (porque \(a > b\)). Sumamos y restamos \(a\) a la coordenada \(x\) del centro:
– \((-1 + 2, \frac{3}{2}) = (1, \frac{3}{2})\)
– \((-1 – 2, \frac{3}{2}) = (-3, \frac{3}{2})\)

– Vértices verticales: Sumamos y restamos \(b\) a la coordenada \(y\) del centro:
– \((-1, \frac{3}{2} + 1) = (-1, \frac{5}{2})\)
– \((-1, \frac{3}{2} – 1) = (-1, \frac{1}{2})\)

 Graficar

1. Marca el centro \((-1, \frac{3}{2})\) en el plano cartesiano.
2. Desde el centro, muévete 2 unidades a la izquierda y a la derecha para marcar los vértices horizontales.
3. Desde el centro, muévete 1 unidad hacia arriba y hacia abajo para marcar los vértices verticales.
4. Dibuja una elipse suave que pase por los cuatro vértices.

Puntos Adicionales para Graficar:

Focos de la Elipse. Para calcular los focos de la elipse, utilizamos la siguiente relación:

\[ c^2 = a^2 – b^2 \]

– \(c\): es la distancia del centro a cada foco.
– \(a\): es la distancia del centro a los vértices horizontales (o semieje mayor).
– \(b\): es la distancia del centro a los vértices verticales (o semieje menor).

En nuestro caso, ya conocemos los valores de \(a\) y \(b\):

– \(a = 2\)
– \(b = 1\)

Entonces, podemos calcular \(c\):

\[ c^2 = 2^2 – 1^2 = 4 – 1 = 3 \]
\[ c = \sqrt{3} \]

Ahora, como el eje mayor de nuestra elipse es horizontal, los focos estarán ubicados a una distancia \(c\) a la izquierda y a la derecha del centro \((-1, \frac{3}{2})\).

Por lo tanto, los focos de la elipse son:

– Foco 1: \((-1 + \sqrt{3}, \frac{3}{2})\)
– Foco 2: \((-1 – \sqrt{3}, \frac{3}{2})\)

En la gráfica tenemos los puntos Ay B que corresponden a los vérices horizontales de la elipse. Los puntos C y D que corresponde a los dos focos y el punto E, como centro de la Elipse

Cómo sabias que era una elipse desde el principio??

Hay varias pistas en la ecuación original que nos indican que se trata de una elipse:

1. Términos cuadráticos en \(x\) y \(y\): La ecuación contiene términos \(x^2\) y \(y^2\), ambos elevados al cuadrado. Esto descarta parábolas (que tienen solo una variable al cuadrado) e hipérbolas (que tienen un término cuadrático negativo).

2. Coeficientes positivos y diferentes para \(x^2\) e \(y^2\): Los coeficientes de \(x^2\) e \(y^2\) son ambos positivos, lo que indica que la figura será cerrada y simétrica. Además, los coeficientes son diferentes (1 y 4), lo que significa que la figura no será un círculo (donde los coeficientes son iguales).

3. Forma general de la ecuación: La ecuación tiene la forma general de una cónica:
\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
En nuestro caso, \(B = 0\) (no hay término \(xy\)), lo que simplifica la identificación. Si \(B\) fuera diferente de cero, tendríamos que rotar los ejes para eliminar el término \(xy\) y poder identificar la cónica.

Otros trucos visuales:

– Completar el cuadrado: Al completar el cuadrado, la ecuación se transforma en la forma estándar de una elipse, lo que confirma nuestra sospecha inicial.
– Comparación con formas estándar:Puedes memorizar las formas estándar de las cónicas para reconocerlas rápidamente:
– Elipse: \(\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1\)
– Hipérbola: \(\frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1\) o \(\frac{(y – k)^2}{b^2} – \frac{(x – h)^2}{a^2} = 1\)
– Parábola: \(y = a(x – h)^2 + k\) o \(x = a(y – k)^2 + h\)
–  Si no estás seguro, siempre puedes graficar la ecuación en GeoGebra u otro software para visualizar la forma.

Saludos