En un triángulo rectángulo, la tangente del ángulo \( \theta \) se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

\[
\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}
\]

Según el problema, \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \). Esto significa que si llamamos \( a \) al cateto opuesto a \( \theta \) y \( b \) al cateto adyacente a \( \theta \), tenemos:

\[
\frac{a}{b} = \frac{3}{4}
\]

Esto nos dice que los catetos están en una proporción de 3:4. Es decir, \( a = 3k \) y \( b = 4k \), donde \( k \) es un factor de proporcionalidad.

Ahora aplicamos el teorema de Pitágoras:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Sustituyendo \( a = 3k \) y \( b = 4k \):

\[
c^2 = (3k)^2 + (4k)^2
\]
\[
c^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2
\]
\[
c = \sqrt{25k^2} = 5k
\]

Dado que la hipotenusa \( c = 40 \) metros, tenemos:

\[
5k = 40
\]
\[
k = \frac{40}{5} = 8
\]

Ahora que conocemos \( k \), podemos calcular las longitudes de los catetos \( a \) y \( b \):

\[
a = 3k = 3 \times 8 = 24 \text{ metros}
\]
\[
b = 4k = 4 \times 8 = 32 \text{ metros}
\]

El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus tres lados:

\[
\text{Perímetro} = a + b + c
\]
\[
\text{Perímetro} = 24 + 32 + 40 = 96 \text{ metros}
\]

El perímetro del triángulo es entonces de 96 metros.