Para resolver este problema, primero necesitamos comprender las fuerzas en juego y las leyes físicas que las gobiernan. La Luna orbita alrededor de la Tierra bajo la influencia de la gravedad. Según la segunda ley de Newton, la fuerza centrípeta que mantiene a la Luna en su órbita circular es proporcionada por la fuerza gravitatoria entre la Luna y la Tierra.

La fuerza gravitatoria entre dos objetos se define como \( F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} \), donde \( G \) es la constante gravitatoria universal, \( M \) es la masa del objeto más grande (en este caso, la Tierra), \( m \) es la masa del objeto más pequeño (la Luna) y \( r \) es la distancia entre los centros de masa de los dos objetos.

En el caso de una órbita circular, la fuerza centrípeta \( F_c \) necesaria para mantener el movimiento circular uniforme es \( F_c = \frac{{m \cdot v^2}}{{r}} \), donde \( m \) es la masa de la Luna, \( v \) es la velocidad orbital y \( r \) es el radio de la órbita.

Para que un cuerpo permanezca en órbita alrededor de otro, se debe cumplir que la fuerza centrípeta debe ser igual a la fuerza gravitatoria.

Igualando estas dos fuerzas, obtenemos:

\[ \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} = \frac{{m \cdot v^2}}{{r}} \]

Dado que la Luna describe una órbita circular con velocidad uniforme (MCU), la velocidad orbital \( v \) puede expresarse como \( v = \omega \cdot r \), donde \( \omega \) es la velocidad angular.

Sabiendo que el período \( T \) de la órbita es el tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra, podemos relacionar \( \omega \) con \( T \) mediante la fórmula \( \omega = \frac{{2 \cdot \pi}}{{T}} \).

Sustituyendo esta expresión de \( \omega \) en la ecuación de la velocidad, obtenemos:

\[ v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{{T}} \]

Ahora, sustituyendo esta expresión de \( v \) en la ecuación de la fuerza gravitatoria, obtenemos:

\[ \frac{{G \cdot M}}{{r^2}} = \frac{{m \cdot \left(\frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{{T}}\right)^2}}{{r}} \]

Despejando \( r \) de esta ecuación, obtenemos:

\[ r = \left( \frac{{G \cdot M \cdot T^2}}{{4 \cdot \pi^2}} \right)^{\frac{1}{3}} \]

Ahora, sustituyendo los valores dados:

\[ r = \left( \frac{{(6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2) \cdot (5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}) \cdot (27 \cdot 24 \cdot 3600 + 7 \cdot 3600 + 43 \cdot 60 + 11.5)}}{{4 \cdot \pi^2}} \right)^{\frac{1}{3}} \]

Resolviendo esta expresión, obtenemos \( r = 3.83 \times 10^8 \, \text{m} \).

Finalmente, para calcular la velocidad orbital, sustituimos este valor de \( r \) en la expresión \( v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{{T}} \):

\[ v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot (3.83 \times 10^8 \, \text{m})}}{{27 \cdot 24 \cdot 3600 + 7 \cdot 3600 + 43 \cdot 60 + 11.5}} \]

Resolviendo, obtenemos \( v = 1020 \, \text{m/s} \).

La velocidad orbital de la Luna es de aproximadamente 1020 m/s, lo que significa que se mueve a una velocidad considerable alrededor de la Tierra. El radio de su órbita es de aproximadamente 3.83 x 10⁸ m, lo que muestra que la Luna está relativamente lejos de la Tierra.

¿Sabías que…

Es interesante reflexionar sobre la percepción que tenemos de la distancia entre la Tierra y la Luna desde nuestra perspectiva aquí en la Tierra. Desde nuestra posición, la Luna puede parecer mucho más cercana de lo que realmente está. Esto se debe a que estamos acostumbrados a verla en el cielo nocturno y a que su tamaño aparente es considerablemente grande en comparación con otros objetos celestes. Además, nuestra experiencia diaria en la Tierra nos da una sensación de proximidad con la Luna que puede distorsionar nuestra percepción de su distancia real.

Sin embargo, en términos absolutos, la distancia entre la Tierra y la Luna es bastante grande. Como ilustración, consideremos la siguiente imagen a escala del sistema Tierra-Luna. En esta representación, veríamos que la Luna está considerablemente alejada de la Tierra en comparación con su tamaño aparente en el cielo nocturno. Esta distancia real es de aproximadamente 384,400 kilómetros en promedio.