Solución: Ambos tienen las mismas probabilidades de ganar. Te explico:

Para resolver el problema, lo mas cómo es analizar las probabilidades de ganar de Milagros y Felipe por separado y luego comparar esas probabilidades.

Probabilidad de que Milagros gane
Milagros lanza una moneda y gana si cae cara.

– Una moneda tiene dos caras: cara y cruz.
– La probabilidad de que salga cara es:
\[
P(\text{cara}) = \frac{1}{2}
\]

Probabilidad de que Felipe gane
Felipe lanza un dado y gana si obtiene un número menor o igual a 3.

– Un dado ordinario tiene 6 caras, numeradas del 1 al 6.
– Los resultados que le permiten ganar a Felipe son 1, 2, y 3.
– La probabilidad de obtener uno de estos resultados es:
\[
P(\text{1, 2, o 3}) = \frac{\text{Número de resultados favorables}}{\text{Número total de resultados}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

Comparsamos las probabilidades
Ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar.

– Probabilidad de que Milagros gane: \( \frac{1}{2} \)
– Probabilidad de que Felipe gane: \( \frac{1}{2} \)

Milagros y Felipe tienen igual probabilidad de ganar, ya que ambos tienen una probabilidad de \( \frac{1}{2} \).

Vamos a darle mas complejidad al problema. No nos han indicado el número de tiradas que debe realizar cada uno. Pero y si nos preguntasen cual tiene la probabilidad de ganar en una ronda al mejor de tres?

Si Milagros y Felipe deciden  jugar al mejor de 3 tiradas, necesitamos analizar las probabilidades de que cada uno gane al menos 2 de esas 3 tiradas.

Probabilidad de ganar cada tirada

Como ya hemos calculado:

– Milagros gana una tirada con una probabilidad de \( \frac{1}{2} \).
– Felipe gana una tirada con una probabilidad de \( \frac{1}{2} \).

 Probabilidad de ganar al mejor de 3 tiradas

Aquí ya se complica la cosa. Debemos utilizar el concepto de distribución binomial ( al final del problema te explico por qué) para calcular las probabilidades de ganar al menos 2 de 3 tiradas.

La fórmula de la probabilidad binomial es:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
donde definimos que:
– \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial.
– \( n \) es el número de pruebas (tiradas).
– \( k \) es el número de éxitos (ganar).
– \( p \) es la probabilidad de éxito en cada prueba.

Para nuestro caso, queremos calcular la probabilidad de ganar 2 o más de las 3 tiradas.

Probabilidad de que Milagros gane al mejor de 3

Milagros gana 2 de 3 tiradas:
\[
P(X = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(1-\frac{1}{2}\right)^{3-2} = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
\]

Milagros gana 3 de 3 tiradas:
\[
P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(1-\frac{1}{2}\right)^{3-3} = \binom{3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
\]

Sumando las dos probabilidades:
\[
P(\text{Milagros gana al menos 2 de 3}) = P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Probabilidad de que Felipe gane al mejor de 3

Felipe gana 2 de 3 tiradas:
\[
P(X = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(1-\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}
\]

Felipe gana 3 de 3 tiradas:
\[
P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
\]

Sumando las dos probabilidades:
\[
P(\text{Felipe gana al menos 2 de 3}) = P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Conclusión

Incluso cuando juegan al mejor de 3 tiradas, tanto Milagros como Felipe tienen igual probabilidad de ganar al menos 2 de las 3 tiradas, que es \( \frac{1}{2} \).

La distribución binomial es una herramienta matemática que permite calcular la probabilidad de un número fijo de éxitos en una serie de pruebas independientes, cada una con la misma probabilidad de éxito.

Esto es precisamente lo que necesitamos para resolver problemas como el de Milagros y Felipe, donde estamos interesados en saber la probabilidad de ganar un cierto número de tiradas en una serie de tiradas.

En resumen, no importa cuántas partidas jueguen al mejor de n, siempre y cuando las probabilidades individuales de cada tirada sigan siendo 1/2 las probabilidades de que Milagros o Felipe ganen seguirán siendo iguales. Esto es una consecuencia de la simetría de sus probabilidades de ganar cada tirada.