SOLUCIÓN: El radio de la órbita del satélite debe ser de aproximadamente \( 1.505 \times 10^7 \, \text{m} \) y  \( 8.68 \times 10^6 \, \text{m} \) si lo medimos desde la superficie terrestre.

SOLUCIÓN DETALLADA

Para determinar el radio \( r \) de la órbita de un satélite, primero debemos entender que la velocidad de traslación está relacionada con la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria.

La fuerza centrípeta \( F_{\text{centrípeta}} \) necesaria para mantener al satélite en su órbita circular es igual a la fuerza gravitatoria \( F_{\text{gravitatoria}} \) entre el satélite y la Tierra.

Usando la segunda ley de Newton, la fuerza centrípeta se expresa como \( F_{\text{centrípeta}} = \frac{m v^2}{r} \), donde \( m \) es la masa del satélite, \( v \) es la velocidad orbital y \( r \) es el radio de la órbita.

La fuerza gravitatoria entre el satélite y la Tierra se describe mediante la ley de la gravitación universal de Newton como \( F_{\text{gravitatoria}} = \frac{G M m}{r^2} \), donde \( G \) es la constante de gravitación universal, \( M \) es la masa de la Tierra y \( m \) es la masa del satélite.

Igualando estas dos fuerzas, obtenemos la ecuación:

\[ \frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2} \]

Despejando \( r \), obtenemos:

\[ r = \frac{G M}{v^2} \]

Sustituyendo los valores conocidos, con \( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg s}^2 \) y \( M = 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg} \), y \( v = 5,434 \, \text{m/s} \), obtenemos:

\[ r = \frac{(6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg s}^2)(5.97 \times 10^{24} \, \text{kg})}{(5,434 \, \text{m/s})^2} \]

\[ r = \frac{4.448 \times 10^{14} \, \text{m}^3/\text{s}^2}{2.952 \times 10^7 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \]

\[ r = 1.505 \times 10^7 \, \text{m} \]

Por lo tanto, el radio de la órbita del satélite debe ser de aproximadamente \( 1.505 \times 10^7 \, \text{m} \).

Este resultado nos muestra que la órbita del satélite debe estar a una distancia considerable de la Tierra para que la velocidad orbital sea suficiente para contrarrestar la fuerza gravitatoria y mantener al satélite en una órbita estable. El satélite necesita una velocidad orbital específica para mantenerse en órbita, y esta velocidad está determinada por su altura sobre la Tierra.

En esta solución no hemos tenido en cuenta el radio terrestre. la altura calculada está medida respecto al centro de la Tierra. ¿A qué altura real está el satélite respecto la superficie de la Tierra?

La altura real del satélite sobre la superficie terrestre es la diferencia entre el radio de la órbita y el radio de la Tierra.

El radio de la Tierra, \( R_{\text{Tierra}} \), es de aproximadamente \( 6.371 \times 10^6 \) metros. Entonces, la altura real del satélite sobre la superficie terrestre sería:

\[ \text{Altura} = r – R_{\text{Tierra}} \]

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

\[ \text{Altura} = 1.505 \times 10^7 \, \text{m} – 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \]

\[ \text{Altura} = 8.68 \times 10^6 \, \text{m} \]

Por lo tanto, la altura real del satélite sobre la superficie terrestre es de aproximadamente \( 8.68 \times 10^6 \) metros.

\[ \text{Altura en kilómetros} = 8680 \, \text{km} \]