Para resolver la ecuación diferencial \( \frac{d^2 y(x)}{dx^2} + y(x) = 0 \), primero asumimos una solución proporcional a \( e^{\lambda x} \) para alguna constante \( \lambda \). Sustituimos \( y(x) = e^{\lambda x} \) en la ecuación diferencial:

\[\frac{d^2}{dx^2} (e^{\lambda x}) + e^{\lambda x} = 0\]

Sustituimos \( \frac{d^2}{dx^2} (e^{\lambda x}) = \lambda^2 e^{\lambda x} \):

\[ \lambda^2 e^{\lambda x} + e^{\lambda x} = 0 \]

Factorizamos \( e^{\lambda x} \):

\[ (\lambda^2 + 1) e^{\lambda x} = 0 \]

Dado que \( e^{\lambda x} \neq 0 \) para cualquier \( \lambda \) finito, los ceros deben provenir del polinomio:

\[ \lambda^2 + 1 = 0 \]

Resolvemos para \( \lambda \):

\[ \lambda = i \text{ o } \lambda = -i \]

Las raíces \( \lambda = \pm i \) dan \( y_1(x) = c_1 e^{ix} \) y \( y_2(x) = c_2 e^{-ix} \) como soluciones, donde \( c_1 \) y \( c_2 \) son constantes arbitrarias. La solución general es la suma de las soluciones anteriores:

\[ y(x) = y_1(x) + y_2(x) = c_1 e^{ix} + c_2 e^{-ix} \]

Aplicamos la identidad de Euler \( e^{\alpha + i\beta} = e^{\alpha}\cos(\beta) + i e^{\alpha}\sin(\beta) \):

\[ y(x) = c_1 (\cos(x) + i\sin(x)) + c_2 (\cos(x) – i\sin(x)) \]

Reagrupamos términos:

\[ y(x) = (c_1 + c_2) \cos(x) + i(c_1 – c_2) \sin(x) \]

Redefinimos \( c_1 + c_2 \) como \( c_1 \) y \( i(c_1 – c_2) \) como \( c_2 \), ya que estas son constantes arbitrarias:

\[ \text{Respuesta: } y(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) \]

La solución general de esta ecuación diferencial, \( y(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) \), describe el movimiento de un oscilador armónico. En términos físicos, esto significa que la posición \( y(x) \) del sistema oscila sinusoidalmente en torno a una posición de equilibrio, determinada por las constantes \( c_1 \) y \( c_2 \). La amplitud de la oscilación está determinada por estas constantes, y la frecuencia natural de oscilación es \( \omega = 1 \), ya que la ecuación no tiene términos dependientes del tiempo. Esta solución  puede aplicarse a sistemas físicos como un péndulo simple, un resorte masa-resorte o un circuito eléctrico con una inductancia y una capacitancia.

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