Es una integral que se resuelve por partes:

Tomamos la integral:

\[\int x^2 \sin^3(x) \, dx\]

Para el integrando \(x^2 \sin^3(x)\), utilizamos la identidad trigonométrica \(sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 – \cos(2x))\):

\[= \frac{1}{2} \int x^2 \sin(x) (1 – \cos(2x)) \, dx\]

Expandimos el integrando \(x^2 \sin(x) (1 – \cos(2x))\) para obtener \(x^2 \sin(x) – x^2 \sin(x) \cos(2x)\):

\[= \frac{1}{2} \int (x^2 \sin(x) – x^2 \sin(x) \cos(2x)) \, dx\]

Integramos los términos de la suma por separado y factorizamos las constantes:

\[= -\frac{1}{2} \int x^2 \sin(x) \cos(2x) \, dx + \frac{1}{2} \int x^2 \sin(x) \, dx\]

Usamos la identidad trigonométrica \(sin(α) cos(β) = \frac{1}{2} (sin(α – β) + sin(α + β))\), donde \(α = x\) y \(β = 2x\):

\[= -\frac{1}{4} \int x^2 (sin(3x) – sin(x)) \, dx + \frac{1}{2} \int x^2 \sin(x) \, dx\]

Expandimos el integrando \(x^2 (sin(3x) – sin(x))\) para obtener \(x^2 \sin(3x) – x^2 \sin(x)\):

\[= -\frac{1}{4} \int (x^2 \sin(3x) – x^2 \sin(x)) \, dx + \frac{3}{4} \int x^2 \sin(x) \, dx\]

Integramos los términos de la suma por separado y factorizamos las constantes:

\[= -\frac{1}{4} \int x^2 \sin(3x) \, dx + \frac{3}{4} \int x^2 \sin(x) \, dx\]

Para el integrando \(x^2 \sin(3x)\), integramos por partes, \(∫ f \, dg = f \, g – ∫ g \, df\), donde \(f = x^2\), \(dg = \sin(3x) \, dx\), \(df = 2x \, dx\), \(g = -\frac{1}{3} \cos(3x)\):

\[= \frac{1}{12} x^2 \cos(3x) – \frac{1}{6} ∫ x \cos(3x) \, dx + \frac{3}{4} ∫ x^2 \sin(x) \, dx\]

Para el integrando \(x \cos(3x)\), integramos por partes, \(∫ f \, dg = f \, g – ∫ g \, df\), donde \(f = x\), \(dg = \cos(3x) \, dx\), \(df = dx\), \(g = \frac{1}{3} \sin(3x)\):

\[= \frac{1}{12} x^2 \cos(3x) – \frac{1}{18} x \sin(3x) + \frac{1}{18} ∫ \sin(3x) \, dx + \frac{3}{4} ∫ x^2 \sin(x) \, dx\]

Para el integrando \(\sin(3x)\), sustituimos \(u = 3x\) y \(du = 3 \, dx\):

\[= \frac{1}{12} x^2 \cos(3x) – \frac{1}{18} x \sin(3x) + \frac{1}{54} ∫ \sin(u) \, du + \frac{3}{4} ∫ x^2 \sin(x) \, dx\]

La integral de \(\sin(u)\) es \(-\cos(u)\):

\[= -\frac{\cos(u)}{54} + \frac{1}{12} x^2 \cos(3x) – \frac{1}{18} x \sin(3x) + \frac{3}{4} ∫ x^2 \sin(x) \, dx\]

Para el integrando \(x^2 \sin(x)\), integramos por partes, \(∫ f \, dg = f \, g – ∫ g \, df\), donde \(f = x^2\), \(dg = \sin(x) \, dx\), \(df = 2x \, dx\), \(g = -\cos(x)\):

\[= -\frac{\cos(u)}{54} – \frac{3}{4} x^2 \cos(x) + \frac{1}{12} x^2 \cos(3x) – \frac{1}{18} x \sin(3x) + \frac{3}{2} ∫ x \cos(x) \, dx\]

Para el integrando \(x \cos(x)\), integramos por partes, \(∫ f \, dg = f \, g – ∫ g \, df\), donde \(f = x\), \(dg = \cos(x) \, dx\), \(df = dx\), \(g = \sin(x)\):

\[= -\frac{\cos(u)}{54} – \frac{3}{4} x^2 \cos(x) + \frac{1}{12} x^2 \cos(3x) + \frac{3}{2} x \sin(x) – \frac{1}{18} x \sin(3x) – \frac{3}{2} ∫ \sin(x) \, dx\]

La integral de \(\sin(x)\) es \(-\cos(x)\):

\[= -\frac{\cos(u)}{54} – \frac{3}{4} x^2 \cos(x) + \frac{1}{12} x^2 \cos(3x) + \frac{3}{2} x \sin(x) – \frac{1}{18} x \sin(3x) – \frac{3 \cos(x)}{2} + C\]

Sustituyendo de nuevo \(u = 3x\):

\[= -\frac{3}{4} x^2 \cos(x) + \frac{1}{12} x^2 \cos(3x) + \frac{3}{2

} x \sin(x) – \frac{1}{18} x \sin(3x) + \frac{3 \cos(x)}{2} – \frac{\cos(3x)}{54} + C\]

Lo cual es igual a:

\[Respuesta: \frac{1}{108} (-81 (x^2 – 2) \cos(x) + (9 x^2 – 2) \cos(3 x) – 6 x (\sin(3 x) – 27 \sin(x))) + C\]