Se nos pide resolver la siguiente integral:

$$\int x(x-3)^5 dx$$

El cambio de variable es una técnica muy poderosa para simplificar integrales que, a primera vista, parecen complicadas. La idea es introducir una nueva variable que haga que la integral sea más fácil de manejar.

En este caso, la expresión (x – 3) dentro de la potencia nos sugiere un cambio de variable adecuado. Vamos a sustituir:

$$u = x – 3$$

Aplicamos el Cambio de Variable

1. Cálculo de du:
Diferenciamos ambos lados de la ecuación u = x – 3 con respecto a x:

$$du = dx$$

2. Expresión de x en términos de u:
Despejamos x de la ecuación u = x – 3:

$$x = u + 3$$

3. Sustitución en la Integral:
Sustituimos u y du en la integral original:

$$\int x(x-3)^5 dx = \int (u + 3)u^5 du$$

4. Simplificación y Resolución:
Expandimos el integrando y resolvemos la integral resultante:

$$\int (u + 3)u^5 du = \int (u^6 + 3u^5) du = \frac{u^7}{7} + \frac{3u^6}{6} + C$$

5. Sustitución Inversa:
Finalmente, sustituimos de vuelta x – 3 por u para obtener la solución en términos de x:

$$\frac{u^7}{7} + \frac{3u^6}{6} + C = \frac{(x-3)^7}{7} + \frac{(x-3)^6}{2} + C$$