Observamos que la expresión \(\sqrt{1-x^2}\) sugiere un cambio de variable trigonométrico. Realizamos la siguiente sustitución:

\[ x = \sin(t) \]

Entonces, derivamos para encontrar \(dx\):

\[ dx = \cos(t) \, dt \]

Sustituimos \(x\) y \(dx\) en la integral original:

\[ \int \frac{x^4 \, dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}} = \int \frac{\sin^4(t) \cos(t) \, dt}{\sqrt{(1-\sin^2(t))^3}} \]

Utilizamos la identidad trigonométrica fundamental \(\cos^2(t) = 1 – \sin^2(t)\) para simplificar la expresión:

\[ \int \frac{\sin^4(t) \cos(t) \, dt}{\cos^3(t)} \]

Cancelamos un factor de \(\cos(t)\):

\[ \int \frac{\sin^4(t) \, dt}{\cos^2(t)} = \int \sin^4(t) \sec^2(t) \, dt \]

Usamos la identidad \(\tan^2(t) = \sec^2(t) – 1\) para expresar todo en términos de \(\tan(t)\):

\[ \int \sin^2(t) \cdot \sin^2(t) \sec^2(t) \, dt = \int \sin^2(t) \cdot (\sec^2(t) – 1) \, dt \]

Expandimos y separamos la integral en dos:

\[ \int \sin^2(t) (\sec^2(t) – 1) \, dt = \int \sin^2(t) \sec^2(t) \, dt – \int \sin^2(t) \, dt \]

Primera integral: Utilizamos la sustitución \(u = \tan(t)\), entonces \(du = \sec^2(t) \, dt\):

\[ \int \sin^2(t) \sec^2(t) \, dt = \int \sin^2(t) \, d(\tan(t)) \]

Ya que \(\sin(t) = \frac{\tan(t)}{\sqrt{1 + \tan^2(t)}}\), tenemos:

\[ \sin^2(t) = \frac{\tan^2(t)}{1 + \tan^2(t)} = \frac{u^2}{1 + u^2} \]

Por lo tanto, la integral se convierte en:

\[ \int \frac{u^2}{1 + u^2} \, du = \int \left(1 – \frac{1}{1 + u^2}\right) \, du = \int 1 \, du – \int \frac{1}{1 + u^2} \, du \]

Integrando obtenemos:

\[ u – \arctan(u) + C = \tan(t) – t + C \]

Segunda integral: Utilizamos la identidad \(\sin^2(t) = \frac{1}{2}(1-\cos(2t))\):

\[ \int \sin^2(t) \, dt = \frac{1}{2} \int (1 – \cos(2t)) \, dt = \frac{1}{2} \left(t – \frac{1}{2} \sin(2t)\right) + C \]

Recordamos que \(x = \sin(t)\), entonces \(t = \arcsin(x)\). Utilizamos la identidad \(\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)\) y \(\cos(t) = \sqrt{1 – \sin^2(t)}\) para expresar todo en términos de \(x\):

\[ \tan(\arcsin(x)) – \arcsin(x) + \frac{1}{2} \left(\arcsin(x) – \frac{1}{2} \cdot 2x\sqrt{1-x^2}\right) + C \]

Simplificando, obtenemos:

\[ \tan(\arcsin(x)) + \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} – \frac{3}{2} \arcsin(x) + C \]

Por lo tanto, la solución de la integral es:

\[ \int \frac{x^4 \, dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}} = \boxed{\tan(\arcsin(x)) + \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} – \frac{3}{2} \arcsin(x) + C} \]