La presencia de una raíz sexta en el denominador nos sugiere utilizar un cambio de variable para simplificar la integral.

Observamos que la expresión dentro de la raíz sexta es (x + 4). Para eliminar la raíz, realizaremos el siguiente cambio de variable:

$$u = x + 4$$

Diferenciamos ambos lados de la ecuación u = x + 4 con respecto a x:

$$du = dx$$

Despejamos x de la ecuación u = x + 4:

$$x = u – 4$$

Sustituimos x y dx en la integral original:

$$\int \frac{x}{\sqrt[6]{x+4}} dx = \int \frac{u-4}{\sqrt[6]{u}} du$$

Simplificamos el integrando y resolvemos la integral resultante:

$$\int \frac{u-4}{\sqrt[6]{u}} du = \int (u^{5/6} – 4u^{-1/6}) du = \frac{6}{11}u^{11/6} – 24u^{5/6} + C$$

Finalmente, sustituimos de vuelta x + 4 por u para obtener la solución en términos de x:

$$\frac{6}{11}u^{11/6} – 24u^{5/6} + C = \frac{6}{11}(x+4)^{11/6} – 24(x+4)^{5/6} + C$$