Para resolver este problema, comenzaremos aplicando el teorema de la energía cinética, que establece que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un objeto es igual al cambio en su energía cinética.

Primero, identifiquemos las fuerzas que actúan sobre la caja mientras se desliza por el plano inclinado. Estas fuerzas son el peso \( W_p \) y la fuerza de rozamiento \( F_r \). El trabajo realizado por el peso \( W_p \) se calcula como \( W_p = P \cdot \Delta x \cdot \cos(60^\circ) \), donde \( P \) es el peso de la caja y \( \Delta x \) es la distancia recorrida. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento \( F_r \) es \( F_r \cdot \Delta x \cdot \cos(180^\circ) \).

El cambio en la energía cinética \( \Delta E_c \) de la caja es igual a \( E_{cf} – E_{c0} \), donde \( E_{cf} \) es la energía cinética final de la caja al final del plano inclinado y \( E_{c0} \) es la energía cinética inicial, que es cero ya que la caja parte del reposo.

Entonces, podemos escribir la ecuación:

\[ P \cdot \Delta x \cdot \cos(60^\circ) + F_r \cdot \Delta x \cdot \cos(180^\circ) = \frac{1}{2} m v^2 – 0 \]

Aquí \( v \) es la velocidad final que queremos encontrar.

Sustituimos los valores conocidos: \( P = mg \), \( m = 2 \) kg, \( g = 9.8 \) m/s\(^2\), \( \Delta x = 6 \) m, \( F_r = 2 \) N, y procedemos a resolver.

\[ (2 \cdot 9.8 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)) + (2 \cdot 6 \cdot \cos(180^\circ)) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 \]

\[ (2 \cdot 9.8 \cdot 6 \cdot 0.5) – (2 \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 \]

\[ (58.8 – 12) = v^2 \]

\[ 46.8 = v^2 \]

\[ v = \sqrt{46.8} \]

\[ v \approx 6.84 \, \text{m/s} \]

La velocidad de la caja al final del plano inclinado, cuando ha recorrido 6 m, es aproximadamente \( 6.84 \) m/s.