La masa de la Tierra es 5,9.1024kg y su radio es 6370km. Se desea elevar una masa m = 15000kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura sobre ella de 4,2.104m.
Calcula la energía que se necesita
Se desea elevar una masa m = 15000kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura h
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Para calcular la energía necesaria para elevar la masa \( m = 15000 \, \text{kg} \) desde la superficie de la Tierra hasta una altura sobre ella de \( h = 4.2 \times 10^4 \, \text{m} \) consideramos la diferencia entre la energía potencial final y la inicial.
La energía potencial inicial es cuando la masa se encuentra en la superficie de la Tierra, y la energía potencial final es cuando la masa se encuentra a una altura \( h \) sobre la superficie de la Tierra.
Entonces, el incremento en la energía potencial (\( \Delta Ep \)) está dado por la diferencia entre estas dos energías potenciales:
\[ \Delta Ep = Ep_{\text{final}} – Ep_{\text{inicial}} \]
La energía potencial inicial es \( Ep_{\text{inicial}} = -\frac{GMm}{R_T} \), donde \( R_T \) es el radio de la Tierra, \( G \) es la constante gravitacional, \( M \) es la masa de la Tierra, y \( m \) es la masa que se eleva.
La energía potencial final es \( Ep_{\text{final}} = -\frac{GMm}{R_T + h} \), donde \( h \) es la altura a la que se eleva la masa.
Entonces, el incremento en la energía potencial es:
\[ \Delta Ep = -\frac{GMm}{R_T + h} – \left(-\frac{GMm}{R_T}\right) \]
\[ \Delta Ep = -\frac{GMm}{R_T + h} + \frac{GMm}{R_T} \]
\[ \Delta Ep = GMm\left(\frac{1}{R_T} – \frac{1}{R_T + h}\right) \]
Vamos a definir todos los valores conocidos:
– \( G \) es la constante gravitacional (aproximadamente \( 6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg}\cdot\text{s}^2 \)).
– \( M \) es la masa de la Tierra (\( 5.9 \times 10^{24} \, \text{kg} \)).
– \( m \) es la masa que se eleva (\( 15000 \, \text{kg} \)).
– \( R_T \) es el radio de la Tierra (\( 6370 \times 10^3 \, \text{m} \)).
– \( h \) es la altura a la que se eleva la masa (\( 4.2 \times 10^4 \, \text{m} \)).
Al calcular esta expresión, obtenemos:
\[ \Delta Ep = (6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg}\cdot\text{s}^2)(5.9 \times 10^{24} \, \text{kg})(15000 \, \text{kg})\]*\[\left(\frac{1}{6370 \times 10^3 \, \text{m}} – \frac{1}{(6370 \times 10^3 \, \text{m}) + (4.2 \times 10^4 \, \text{m})}\right) \]
\[ \Delta Ep= (6.9 \times 10^{9} \, \text{J}) \]