Se eleva una caja de 100 kg a una altura de 120 cm del suelo. Indica el trabajo que se realiza al subirla
verticalmente y al ayudarse de un plano inclinado de 3 m de longitud y 1.2 m de altura.
¿En qué caso se hace más fuerza?
Para resolver este problema, primero debemos definir las variables:
– \( m = 100 \, \text{kg} \) (masa de la caja)
– \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración debido a la gravedad)
– \( h_1 = 120 \, \text{cm} = 1.2 \, \text{m} \) (altura vertical)
– \( h_2 = 1.2 \, \text{m} \) (altura del plano inclinado)
– \( l = 3 \, \text{m} \) (longitud del plano inclinado)
Para el primer caso, donde se levanta la caja verticalmente, el trabajo realizado \( W_1 \) se calcula como el producto de la fuerza aplicada y la distancia recorrida en la dirección del movimiento. La fuerza aplicada es igual al peso de la caja, que es \( P = mg \), y la distancia recorrida es \( \Delta h = h_1 \). Entonces, el trabajo \( W_1 \) es:
\[ W_1 = P \cdot \Delta h = mg \cdot \Delta h \cdot \cos(180º) \]
\[ W_1 = (100 \, \text{kg})(9.8 \, \text{m/s}^2)(1.2 \, \text{m}) \cdot \cos(180º) \]
\[ W_1 = -1176 \, \text{J} \]
El resultado es negativo porque estamos calculando el trabajo realizado por la fuerza del peso, que actúa en la dirección opuesta al movimiento.
Para el segundo caso, donde se utiliza un plano inclinado, primero debemos determinar el ángulo \( \beta \) entre el vector desplazamiento y el peso. Dado que conocemos la altura del plano inclinado \( h_2 \) y la longitud del plano \( l \), podemos calcular \( \sin(\beta) \) utilizando la relación trigonométrica \( \sin(\beta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \):
\[ \sin(\beta) = \frac{h_2}{l} = \frac{1.2 \, \text{m}}{3 \, \text{m}} \]
\[ \sin(\beta) = 0.4 \]
Ahora, podemos calcular el trabajo \( W_2 \) como el producto de la fuerza aplicada y la distancia recorrida en la dirección del movimiento. La fuerza aplicada es igual al peso de la caja, \( P = mg \), y la distancia recorrida es la longitud del plano inclinado \( \Delta r = l \). Entonces, el trabajo \( W_2 \) es:
\[ W_2 = P \cdot \Delta r \cdot \sin(\beta) = mg \cdot \Delta r \cdot \sin(\beta) \]
\[ W_2 = (100 \, \text{kg})(9.8 \, \text{m/s}^2)(3 \, \text{m}) \cdot \0,4 \]
\[ W_2 \approx -1176 \, \text{J} \]
Al igual que en el primer caso, el resultado es negativo porque estamos calculando el trabajo realizado por la fuerza del peso, que actúa en la dirección opuesta al movimiento.
La igualdad en el trabajo realizado en ambos casos se debe a que el trabajo no depende de la trayectoria seguida, sino solo de los puntos inicial y final, y de las fuerzas aplicadas en la dirección del movimiento.
Si vamos un poco mas allá en la teoria, podemos resolver este problema de manera mas sencilla.
El trabajo realizado al elevar un cuerpo a una cierta altura no depende de la trayectoria seguida para llegar a esa altura, sino solo de la diferencia de alturas entre los puntos inicial y final. ( no hay fuerzas externas como rozamientos) Esto se debe a que el trabajo realizado se convierte en energía potencial gravitatoria, que depende únicamente de la altura a la que se encuentra el cuerpo.
Este principio se conoce como el Teorema de la Conservación de la Energía Mecánica.
La fórmula para el trabajo realizado al elevar un cuerpo es \( W = mgh \), donde \( m \) es la masa del cuerpo, \( g \) es la aceleración debida a la gravedad y \( h \) es la altura a la que se eleva el cuerpo.
Sustituyendo los valores proporcionados, obtenemos:
\[ W = (100 \, \text{kg}) \times (9.8 \, \text{m/s}^2) \times (1.20 \, \text{m}) \]
\[ W = 1,176 \, \text{J} \]
Esto significa que el trabajo realizado para elevar la caja a una altura de 1.20 metros es de 1,176 julios.
Por lo tanto, independientemente de si se utiliza un plano inclinado o se eleva verticalmente la caja, el trabajo realizado es el mismo, lo que confirma el principio de conservación de la energía mecánica.