Se lanza un cuerpo de 2.4 kg por una superficie horizontal y se detiene tras recorrer 4 m. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es 0,35.
¿Con qué velocidad se lanzó el cuerpo?
jesussNovato
Se lanza un cuerpo de 2.4 kg por una superficie horizontal y se detiene tras recorrer 4 m
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Primero, identifiquemos las variables y conceptos clave que utilizaremos:
– \( m \): masa del cuerpo = 2.4 kg
– \( d \): distancia recorrida = 4 m
– \( \mu \): coeficiente de rozamiento = 0.35
– \( g \): aceleración debida a la gravedad = 9.8 m/s²
– \( v_0 \): velocidad inicial (lo que queremos encontrar)
– \( F_r \): fuerza de rozamiento
– \( W_r \): trabajo realizado por la fuerza de rozamiento
Cálculo de la Fuerza de Rozamiento
La fuerza de rozamiento \( F_r \) se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:
\[ F_r = \mu \cdot m \cdot g \]
Reemplacemos los valores en la fórmula:
\[ F_r = 0.35 \cdot 2.4 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \]
\[ F_r = 0.35 \cdot 2.4 \cdot 9.8 = 8.232 \, \text{N} \]
Redondeando a una cifra significativa:
\[ F_r \approx 8.2 \, \text{N} \]
Trabajo Realizado por la Fuerza de Rozamiento
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento \( W_r \) se puede calcular usando:
\[ W_r = F_r \cdot d \]
Sustituyamos los valores:
\[ W_r = 8.2 \, \text{N} \cdot 4 \, \text{m} \]
\[ W_r = 32.8 \, \text{J} \]
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es negativo porque esta fuerza actúa en la dirección opuesta al movimiento del cuerpo:
\[ W_r = -32.8 \, \text{J} \]
Energía Cinética Inicial y Final
Vamos a expresar ambas energías porque nos serán útiles mas tarde. Sabemos que la energía cinética inicial \( E_{ci} \) es:
\[ E_{ci} = \frac{1}{2} m v_0^2 \]
La energía cinética final \( E_{cf} \) es cero porque el cuerpo se detiene:
\[ E_{cf} = 0 \]
Aplicando el Principio de Conservación de la Energía
Usamos el principio de conservación de la energía, que nos dice que la energía inicial más el trabajo realizado por las fuerzas externas (en este caso, el rozamiento) es igual a la energía final:
\[ E_{ci} + W_r = E_{cf} \]
Sustituimos las expresiones correspondientes:
\[ \frac{1}{2} m v_0^2 + (-32.8 \, \text{J}) = 0 \]
Despejamos para encontrar \( v_0^2 \):
\[ \frac{1}{2} \cdot 2.4 \, \text{kg} \cdot v_0^2 = 32.8 \, \text{J} \]
\[ 2.4 \, \text{kg} \cdot v_0^2 = 65.6 \, \text{J} \]
\[ v_0^2 = \frac{65.6 \, \text{J}}{2.4 \, \text{kg}} \]
Calculamos:
\[ v_0^2 \approx 27.33 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]
Finalmente, tomamos la raíz cuadrada:
\[ v_0 = \sqrt{27.33 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \]
\[ v_0 \approx 5.23 \, \text{m/s} \]
La velocidad con la que se lanzó el cuerpo es aproximadamente \( 5.23 \, \text{m/s} \).
Vamos a resolver este problema de una manera alternativa utilizando las fórmulas de la dinámica y la cinemática, sin utilizar energías.
Primero, como siempre es constumbre, definamos las variables clave que vamos a utilizar:
– \( m \): masa del cuerpo = 2.4 kg
– \( d \): distancia recorrida = 4 m
– \( \mu \): coeficiente de rozamiento = 0.35
– \( g \): aceleración debida a la gravedad = 9.8 m/s²
– \( v_0 \): velocidad inicial (lo que queremos encontrar)
– \( a \): aceleración (será negativa debido al rozamiento)
Fuerza de Rozamiento
La fuerza de rozamiento \( F_r \) se puede calcular como:
\[ F_r = \mu \cdot m \cdot g \]
Sustituyamos los valores:
\[ F_r = 0.35 \cdot 2.4 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \]
\[ F_r = 8.232 \, \text{N} \]
Redondeando a una cifra significativa:
\[ F_r \approx 8.2 \, \text{N} \]
Aceleración debido al Rozamiento
La aceleración \( a \) producida por la fuerza de rozamiento se calcula utilizando la segunda ley de Newton:
\[ F_r = m \cdot a \]
Despejamos \( a \):
\[ a = \frac{F_r}{m} \]
Sustituimos los valores:
\[ a = \frac{8.2 \, \text{N}}{2.4 \, \text{kg}} \]
Calculamos:
\[ a \approx 3.42 \, \text{m/s}^2 \]
Como esta aceleración es debido a una fuerza de rozamiento, actuará en dirección opuesta al movimiento, por lo tanto, debemos de considerar que tomarará signo negativo ( cuidado con este paso que suele olvidarse) \( a = -3.42 \, \text{m/s}^2 \).
Cinemática: Podemos relacionar Velocidad, Aceleración y Distancia
Usamos una ecuación de la cinemática que relaciona la velocidad inicial, la aceleración y la distancia:
\[ v_f^2 = v_0^2 + 2 a d \]
Como sabemos cuando hicimos ejercicios de cinemática
– \( v_f \) es la velocidad final, que es 0 (el cuerpo se detiene)
– \( v_0 \) es la velocidad inicial que queremos encontrar
– \( a \) es la aceleración (que es negativa, -3.42 m/s²)
– \( d \) es la distancia recorrida (4 m)
Sustituimos los valores en la ecuación:
\[ 0 = v_0^2 + 2 (-3.42 \, \text{m/s}^2) (4 \, \text{m}) \]
Resolvemos la ecuación para \( v_0 \):
\[ 0 = v_0^2 – 27.36 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]
\[ v_0^2 = 27.36 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]
Tomamos la raíz cuadrada para encontrar \( v_0 \):
\[ v_0 = \sqrt{27.36 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \]
\[ v_0 \approx 5.23 \, \text{m/s} \]
Resultado Final
La velocidad con la que se lanzó el cuerpo es aproximadamente \( 5.23 \, \text{m/s} \).
Utilizando los principios de la cinemática y la dinámica, hemos podido resolver el problema sin recurrir a conceptos de energía. Hemos calculado la fuerza de rozamiento, determinado la aceleración resultante, y luego aplicado las ecuaciones de movimiento para encontrar la velocidad inicial. Este método también nos da una comprensión profunda de cómo las fuerzas y el movimiento están interrelacionados.
La pregunta final es: ¿Qué método te parece mas sencillo o fácil ? Por energías o por cinemática?
Te leo en los comentarios. Un saludo.