Datos Iniciales:
– Velocidad inicial, \( v_0 = 5 \, \text{m/s} \) (hacia arriba).
– Aceleración debida a la gravedad, \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \) (considerando su dirección hacia el interior de la Tierra).

a) Altura máxima alcanzada:
Para encontrar la altura máxima alcanzada, primero determinamos el tiempo que tarda la piedra en llegar a su altura máxima. Utilizamos la ecuación de la velocidad final para un movimiento uniformemente acelerado:

\[ v = v_0 + g \cdot t \]

\[ 0 = 5 – 9.8 \cdot t \]

Resolviendo esta ecuación para \( t \), encontramos que \( t = 0.51 \) segundos.

Ahora, utilizamos la ecuación del espacio recorrido para determinar la altura máxima alcanzada, ya que en este punto la velocidad es cero:

\[ s = v_0 \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2 \]

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

\[ s = 5 \cdot 0.51 – \frac{1}{2} \cdot (-9.8) \cdot (0.51)^2 \]
\[ s = 2.55 – (-1.2549) \]
\[ s = 3.8049 \, \text{metros} \]

Por lo tanto, la altura máxima alcanzada es aproximadamente \( 3.80 \, \text{metros} \).

b) Velocidad en la mitad del recorrido:
Para encontrar la velocidad en la mitad del recorrido, primero necesitamos determinar el tiempo que tarda en recorrer la mitad de la altura máxima, es decir, \( \frac{3.80}{2} = 1.90 \) metros.

Luego, resolvemos la ecuación de la velocidad para encontrar el tiempo:

\[ 1.90 = 5t – \frac{1}{2} \cdot (-9.8) \cdot t^2 \]

Resolviendo esta ecuación, encontramos \( t \approx 0.29 \) segundos.

Ahora, sustituimos este valor en la ecuación de la velocidad para encontrar \( v \):

\[ v = 5 – 9.8 \cdot 0.29 \]
\[ v \approx 5 – 2.842 \]
\[ v \approx 2.158 \, \text{m/s} \]

Por lo tanto, la velocidad en la mitad del recorrido es aproximadamente \( 2.16 \, \text{m/s} \).

c) Velocidad al llegar nuevamente al suelo:
Dado que no hay resistencia del aire, la velocidad con la que la piedra llega nuevamente al suelo es igual a la velocidad con la que fue lanzada, es decir, \( v = 5 \, \text{m/s} \).