Para abordar este problema, primero definamos algunas variables importantes:

– \( l_o \): longitud original de los muelles antes de ser estirados.
– \( x \): extensión de los muelles después de ser estirados.
– \( l_1 \): longitud final del primer muelle.
– \( l_2 \): longitud final del segundo muelle.
– \( k \): constante elástica de los muelles.

La energía potencial elástica de un muelle estirado se define como \( E_p = \frac{1}{2} k x^2 \).

Cuando estiramos los muelles, la longitud final de cada uno será la suma de su longitud original y su extensión, es decir:

\[ l_1 = l_o + x \]
\[ l_2 = l_o + x’ \]

Ahora, vamos a calcular la energía potencial elástica de cada muelle:

Para el primer muelle (ep1):

\[ E_{p1} = \frac{1}{2} k (l_o + x)^2 \]

Para el segundo muelle (ep2):

\[ E_{p2} = \frac{1}{2} k (l_o + x’)^2 \]

Dado que el segundo muelle tiene el doble de longitud que el primero (\( l_2 = 2l_1 \)), podemos escribir:

\[ l_o + x’ = 2(l_o + x) \]

Resolviendo para \( x’ \), obtenemos:

\[ x’ = 2x \]

Por lo tanto, la expresión para \( E_{p2} \) se convierte en:

\[ E_{p2} = \frac{1}{2} k (l_o + 2x)^2 \]

Ahora, vamos a comparar las energías potenciales \( E_{p2} \) y \( E_{p1} \):

\[ \frac{E_{p2}}{E_{p1}} = \left( \frac{l_o + 2x}{l_o + x} \right)^2 \]

Para que \( E_{p2} \) sea el doble de \( E_{p1} \), necesitamos que:

\[ \frac{E_{p2}}{E_{p1}} = 2 \]

Entonces,

\[ \left( \frac{l_o + 2x}{l_o + x} \right)^2 = 2 \]

\[ \frac{l_o + 2x}{l_o + x} = \sqrt{2} \]

Resolviendo esta ecuación para \( x \), obtenemos:

\[ x = \sqrt{2} \cdot x \]

Esto indica que la extensión necesaria \( x \) debe ser igual a su multiplicación por \( \sqrt{2} \) para que la energía potencial del segundo muelle sea el doble que la del primero.

En definitiva,  que para que el segundo muelle tenga el doble de energía potencial que el primero, la extensión debe ser aproximadamente \( \sqrt{2} \) veces mayor que la extensión original.