Tenemos la matriz A:

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$

Nuestro objetivo es calcular A² y expresarlo en función de la matriz identidad I. Luego, utilizaremos esta relación para hallar A²⁰⁰⁵.

Cálculo de A²

Multiplicamos la matriz A por sí misma:

$$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

Observamos que A² es igual a -I, donde I es la matriz identidad de orden 2:

$$A^2 = -I$$

Ahora, podemos utilizar esta relación para calcular potencias más altas de A. Por ejemplo:

A³ = A² · A = -I · A = -A
A⁴ = A³ · A = -A · A = -A² = I
A⁵ = A⁴ · A = I · A = A

¡Hemos descubierto un patrón! Las potencias de A se repiten en ciclos de 4:

$$A, -I, -A, I, A, -I, -A, I, …$$

Cálculo de A²⁰⁰⁵

Dado que 2005 es un número impar, podemos expresarlo como:

$$2005 = 4 \cdot 501 + 1$$

Por lo tanto:

$$A^{2005} = A^{4 \cdot 501 + 1} = (A^4)^{501} \cdot A = I^{501} \cdot A = I \cdot A = A$$

Hemos encontrado que:

$$A^{2005} = A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$

Dato curioso

La matriz A que estamos estudiando es una matriz de rotación. Al multiplicar un vector por esta matriz, el vector gira 90 grados en sentido antihorario. Por eso, al elevar la matriz A a potencias sucesivas, el vector va rotando en múltiplos de 90 grados. En este caso, A²⁰⁰⁵ representa una rotación de 2005 * 90 grados, que es equivalente a una rotación de 90 grados (ya que 2005 es uno más que un múltiplo de 4).
Esta propiedad de rotación tiene importantes aplicaciones en física. Por ejemplo, en mecánica, podemos usar matrices de rotación para describir el movimiento de un cuerpo rígido en el espacio. Imaginemos un objeto que gira alrededor de un eje. Podemos representar la orientación del objeto en cada instante mediante un vector. Al multiplicar este vector por una matriz de rotación adecuada, obtenemos la nueva orientación del objeto después de un cierto tiempo.

Otro ejemplo interesante es el de los números complejos. Un número complejo se puede representar como un vector en el plano complejo. La multiplicación de un número complejo por la unidad imaginaria ‘i’ equivale a una rotación de 90 grados en sentido antihorario. De hecho, la matriz A que estamos estudiando es equivalente a la multiplicación por ‘i’ en el plano complejo.

Vamos a verlo con un ejemplo sencillo. Esto se pone interesante!

Consideremos el vector:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Este vector tiene sus componentes (3, 2) en el plano cartesiano, lo que significa que se extiende 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba.

Ahora, multipliquemos este vector por la matriz A:

$$A\vec{v} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0 \cdot 3) + (1 \cdot 2) \\ (-1 \cdot 3) + (0 \cdot 2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$$

El resultado es el vector (-2, 3). Si lo dibujamos en el plano cartesiano, veremos que este nuevo vector se ha girado 90 grados en sentido antihorario con respecto al vector original (3, 2).

¿Qué ha pasado?

La matriz A actúa como un operador que transforma el vector original en un nuevo vector rotado y como hemos comentado antes, la rotación es de 90 grados en sentido antihorario.