En primer lugar, recordemos que para que un cuerpo esté en equilibrio, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero. Podemos expresar esto matemáticamente como:

\[ \vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0 \]

Dado que las fuerzas \(\vec{F}_1\) y \(\vec{F}_2\) están dadas en términos de sus componentes, es conveniente descomponer la fuerza desconocida \(\vec{F}_3\) en sus componentes \(F_{3x}\) y \(F_{3y}\).

Entonces, la ecuación de equilibrio para las componentes \(x\) y \(y\) se expresa como:

\[ F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0 \]

\[ F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0 \]

Donde \(F_{1x}\), \(F_{2x}\), \(F_{1y}\), y \(F_{2y}\) son las componentes \(x\) y \(y\) de las fuerzas dadas.

Dado que \(F_1 = 3 \, \text{N}\) está dirigida a lo largo del eje \(X\) positivo, \(F_{1x} = 3 \, \text{N}\), y \(F_{1y} = 0\) ya que no tiene componente en \(Y\).

Para \(F_2 = 3 \, \text{N}\) en dirección del eje \(Y\) negativo, \(F_{2x} = 0\) y \(F_{2y} = -3 \, \text{N}\).

Luego, podemos escribir las ecuaciones de equilibrio:

\[ 3 \, \text{N} + 0 + F_{3x} = 0 \]

\[ 0 + (-3 \, \text{N}) + F_{3y} = 0 \]

Resolviendo estas ecuaciones, encontramos que \(F_{3x} = -3 \, \text{N}\) y \(F_{3y} = 3 \, \text{N}\).

Finalmente, podemos encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante \(\vec{F}_3\) usando el teorema de Pitágoras y la tangente inversa:

\[ |\vec{F}_3| = \sqrt{F_{3x}^2 + F_{3y}^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} \]

La dirección se encuentra usando la tangente inversa:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{F_{3y}}{F_{3x}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{-3}\right) = -45^\circ \]

Así que la fuerza necesaria para que el sistema esté en equilibrio es \(\vec{F}_3 = \sqrt{18}\) en el segundo cuadrante, formando un ángulo de \(45^\circ\) con el eje \(X\) negativo.