a) Hallar el valor de la pendiente

La pendiente de una gráfica \( v-t \) (velocidad contra tiempo) se determina usando dos puntos de la línea recta. La pendiente \( m \) está dada por la fórmula:

\[ m = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 – v_1}{t_2 – t_1} \]

Usamos los puntos (0 s, 0 m/s) y (2 s, 6 m/s).

\[ v_1 = 0 \, \text{m/s}, \; t_1 = 0 \, \text{s} \]
\[ v_2 = 6 \, \text{m/s}, \; t_2 = 2 \, \text{s} \]

Sustituimos estos valores en la fórmula de la pendiente:

\[ m = \frac{6 \, \text{m/s} – 0 \, \text{m/s}}{2 \, \text{s} – 0 \, \text{s}} = \frac{6 \, \text{m/s}}{2 \, \text{s}} = 3 \, \text{m/s}^2 \]

Por lo tanto, la pendiente es \( 3 \, \text{m/s}^2 \).

 b) Significado de la pendiente

En una gráfica \( v-t \), la pendiente representa la aceleración del objeto. En este caso, la aceleración es constante y su valor es \( 3 \, \text{m/s}^2 \). Esto significa que la velocidad del objeto está aumentando a razón de \( 3 \, \text{m/s} \) cada segundo. Por lo tanto, estamos en una MRUA

c) Ecuación del movimiento

La ecuación de la velocidad en función del tiempo se puede escribir como:

\[ v(t) = at + v_0 \]

La aceleración es  \( a \) es \( 3 \, \text{m/s}^2 \) y la velocidad inicial \( v_0 \) es \( 0 \, \text{m/s} \) (parte del origen), tenemos:

\[ v(t) = 3 \, \text{m/s}^2 \cdot t \]

Para encontrar la posición \( x(t) \), utilizamos la relación entre la posición y la velocidad en un movimiento con aceleración constante. La ecuación de la posición es:

\[ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

Como \( x_0 = 0 \) (parte del origen) y \( v_0 = 0 \), tenemos:

\[ x(t) = \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2 \]
\[ x(t) = \frac{3}{2} t^2 \]

d) Hallar el área bajo la curva de velocidad

El área bajo la curva en una gráfica \( v-t \) representa el desplazamiento del objeto. Para una línea recta que comienza en el origen, el área es la de un triángulo. La fórmula del área de un triángulo es:

\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} \]

En este caso, la base es el tiempo \( t \) y la altura es la velocidad \( v(t) \). Para \( t = 4 \, \text{s} \):

\[ v(4) = 3 \, \text{m/s}^2 \cdot 4 \, \text{s} = 12 \, \text{m/s} \]

Por lo tanto, la base es \( 4 \, \text{s} \) y la altura es \( 12 \, \text{m/s} \):

\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{s} \cdot 12 \, \text{m/s} = \frac{1}{2} \cdot 48 \, \text{m} = 24 \, \text{m} \]

Entonces el desplazamiento del móvil hasta los 4 segundos es \( 24 \, \text{m} \).

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