Datos iniciales:
– Aceleración del ascensor hacia arriba: \( a_{\text{ascensor}} = 1.2 \, \text{m/s}^2 \)
– Velocidad del ascensor en el instante en que el tornillo cae: \( v_0 = 2.4 \, \text{m/s} \) (hacia arriba)
– Altura desde la cual cae el tornillo (respecto al suelo del ascensor): \( h = 2.7 \, \text{m} \)
– Aceleración debida a la gravedad: \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)

Cuando el tornillo se suelta del suelo del ascensor, no solo está en caída libre bajo la acción de la gravedad, sino que también posee una velocidad inicial hacia arriba debido al movimiento del ascensor. Primero, calcularemos el tiempo durante el cual el tornillo sigue subiendo hasta que su velocidad se reduzca a cero, lo que marca el momento en que deja de ascender y comienza a caer.

1. Tiempo hasta que el tornillo se detiene en su ascenso:

Sabemos que la velocidad final en el punto más alto será cero (\( v_f = 0 \)). Usamos la ecuación de la cinemática:

\[
v_f = v_0 – g t_1
\]

\( t_1 \) es el tiempo que tarda en detenerse.

Despejamos para \( t_1 \):

\[
0 = 2.4 \, \text{m/s} – 9.8 \, \text{m/s}^2 \times t_1
\]

\[
t_1 = \frac{2.4 \, \text{m/s}}{9.8 \, \text{m/s}^2} \approx 0.24 \, \text{s}
\]

Este es el tiempo que el tornillo sigue subiendo antes de comenzar a caer. Ahora, determinaremos cuánto ha subido durante este tiempo.

 2. Distancia recorrida hacia arriba:

La distancia que recorre el tornillo hacia arriba mientras sigue ascendiendo se calcula con:

\[
e_{\text{arriba}} = v_0 t_1 – \frac{1}{2} g t_1^2
\]

Sustituyendo los valores:

\[
e_{\text{arriba}} = 2.4 \, \text{m/s} \times 0.24 \, \text{s} – \frac{1}{2} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times (0.24 \, \text{s})^2
\]

\[
e_{\text{arriba}} \approx 0.576 \, \text{m} – 0.282 \, \text{m} \approx 0.294 \, \text{m}
\]

El tornillo sube 0.294 m adicionales antes de comenzar a caer. Ahora, calculemos cuánto ha subido el ascensor durante este tiempo.

 3. Desplazamiento del ascensor en el mismo tiempo:

El ascensor continúa acelerando hacia arriba durante los 0.24 segundos. Usamos la siguiente fórmula para calcular el desplazamiento del ascensor:

\[
e_{\text{ascensor}} = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a_{\text{ascensor}} t_1^2
\]

Sustituyendo los valores:

\[
e_{\text{ascensor}} = 2.4 \, \text{m/s} \times 0.24 \, \text{s} + \frac{1}{2} \times 1.2 \, \text{m/s}^2 \times (0.24 \, \text{s})^2
\]

\[
e_{\text{ascensor}} \approx 0.576 \, \text{m} + 0.03456 \, \text{m} \approx 0.61 \, \text{m}
\]

Entonces, al final de estos 0.24 segundos, el tornillo se encuentra a una altura relativa con respecto al suelo del ascensor de:

\[
\text{Altura final respecto al suelo} = 2.7 \, \text{m} + 0.294 \, \text{m} – 0.61 \, \text{m} = 2.38 \, \text{m}
\]

Esta es la nueva altura desde la cual comenzará a caer.

4. Caída del tornillo:

Ahora, consideramos el movimiento del tornillo hacia abajo. Usaremos la ecuación de movimiento para el tornillo en caída libre desde una altura de 2.38 m:

\[
e'(t) = \frac{1}{2} g t^2
\]

Simultáneamente, consideramos el ascenso continuo del ascensor durante este tiempo, que sigue subiendo según:

\[
e_{\text{ascensor}}'(t) = v_0′ t + \frac{1}{2} a_{\text{ascensor}} t^2
\]

Donde \( v_0′ \) es la velocidad del ascensor en el momento en que el tornillo comienza a caer. Calculamos \( v_0′ \):

\[
v_0′ = v_0 + a_{\text{ascensor}} \times t_1 = 2.4 \, \text{m/s} + 1.2 \, \text{m/s}^2 \times 0.24 \, \text{s} \approx 2.688 \, \text{m/s}
\]

Entonces, la distancia total de caída del tornillo debe igualar la distancia que recorre el ascensor más la altura inicial menos la distancia que cae:

\[
2.38 \, \text{m} = 2.688 \, \text{m/s} \times t_2 + \frac{1}{2} \times 1.2 \, \text{m/s}^2 \times t_2^2 + \frac{1}{2} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times t_2^2
\]

Simplificando, llegamos a la ecuación cuadrática:

\[
5.5 \times t_2^2 + 2.688 \times t_2 – 2.38 = 0
\]

Resolvemos esta ecuación cuadrática para \( t_2 \):

Las soluciones nos dan:

\[
t_2 \approx 0.46 \, \text{s}
\]

Tomamos el tiempo positivo, ya que es el único físicamente coherente. Así que el tiempo total hasta que el tornillo alcanza el suelo es:

\[
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = 0.24 \, \text{s} + 0.46 \, \text{s} = 0.70 \, \text{s}
\]

5. Distancia total recorrida por el tornillo:

Finalmente, calculamos la distancia total recorrida por el tornillo desde el punto más alto hasta el suelo:

\[
e’_{\text{total}} = \frac{1}{2} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times (0.46 \, \text{s})^2 \approx 1.037 \, \text{m}
\]

Restamos la distancia recorrida hacia arriba para obtener la distancia neta de caída:

\[
\text{Distancia total} = 1.037 \, \text{m} – 0.294 \, \text{m} \approx 0.743 \, \text{m} \approx 74.3 \, \text{cm}
\]

Solución:

El tornillo recorre 74.3 cm en su caída, y tarda 0.70 segundos en llegar al suelo.

Puedes ver un problema similar, en el canal Una Física Simplificada donde en este caso cambia el inciso b) donde s epide la velocidad del ascensor en el momento de llegar el tornillo al piso.