Primero, pensemos en las fuerzas y energías involucradas. Al principio, el bloque tiene energía cinética debido a su movimiento. Cuando choca con el muelle, esta energía cinética se convierte en energía potencial elástica (debido a la compresión del muelle) y en energía disipada por el rozamiento. La clave para resolver el problema es aplicar el principio de conservación de la energía mecánica, pero teniendo en cuenta el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

Vamos definir las variables:
– \( m = 5 \) kg: Masa del bloque.
– \( v_0 = 10 \) m/s: Velocidad inicial del bloque.
– \( k = 25 \) N/m: Constante elástica del muelle.
– \( \mu = 0,20 \): Coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie.
– \( g = 9,8 \) m/s\(^2\): Aceleración debida a la gravedad.
– \( x \): Longitud de compresión del muelle, que es lo que queremos encontrar.

Análisis de energía:
La energía mecánica inicial del sistema es puramente cinética, ya que el muelle está sin comprimir y el bloque se está moviendo:

\[ \text{Energía cinética inicial: } E_{c_i} = \frac{1}{2} m v_0^2 \]

Cuando el bloque choca con el muelle, comienza a comprimirse, y durante este proceso se pierde energía debido al trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Al final, toda la energía cinética inicial se convierte en energía potencial elástica almacenada en el muelle y en el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

\[ \text{Energía potencial elástica: } E_{p_f} = \frac{1}{2} k x^2 \]

\[ \text{Trabajo realizado por el rozamiento: } W_f = \mu m g x \]

Aplicación del principio de conservación de la energía:
El principio de conservación de la energía, incluyendo el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (como el rozamiento), nos dice que:

\[ E_{c_i} – W_f = E_{p_f} \]

Sustituyendo las expresiones conocidas:

\[ \frac{1}{2} m v_0^2 – \mu m g x = \frac{1}{2} k x^2 \]

\[ \frac{1}{2} (5 \text{ kg}) (10 \text{ m/s})^2 – (0,20)(5 \text{ kg})(9,8 \text{ m/s}^2) x = \frac{1}{2} (25 \text{ N/m}) x^2 \]

Realizando los cálculos:

\[ \frac{1}{2} \times 5 \times 100 – 0,2 \times 5 \times 9,8 \times x = \frac{1}{2} \times 25 \times x^2 \]

\[ 250 – 9,8x = 12,5x^2 \]

Reorganizaremos la ecuación para tenerla en la forma estándar de una ecuación cuadrática:

\[ 12,5x^2 + 9,8x – 250 = 0 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Donde, para nuestra ecuación:
– \( a = 12,5 \)
– \( b = 9,8 \)
– \( c = -250 \)

Sustituyendo los valores:

\[ x = \frac{-9,8 \pm \sqrt{(9,8)^2 – 4(12,5)(-250)}}{2(12,5)} \]

\[ \sqrt{9,8^2 + 4 \times 12,5 \times 250} = \sqrt{96,04 + 12500} \approx \sqrt{12596,04} \approx 112,22 \]

Entonces, nuestra ecuación para \( x \) se convierte en:

\[ x = \frac{-9,8 \pm 112,22}{25} \]

Esto nos da dos posibles soluciones:

1. \( x_1 = \frac{-9,8 + 112,22}{25} = \frac{102,42}{25} \approx 4,10 \) m
2. \( x_2 = \frac{-9,8 – 112,22}{25} = \frac{-122,02}{25} \approx -4,88 \) m

Físicamente, la compresión del muelle no puede ser negativa, por lo que descartamos \( x_2 \). Asi que la longitud que se comprime el muelle es de \( x \approx 4,1 \) m.