Primero, como siempre, vamos a definir todas las variables y las fórmulas que necesitaremos:

– Masa del bloque: \( m = 5 \) kg
– Longitud del plano: \( L = 4 \) m
– Ángulo de inclinación: \( \alpha = 30^\circ \)
– Coeficiente de rozamiento: \( \mu = 0,25 \)

 a) El trabajo de rozamiento

La fuerza de rozamiento \( F_r \)  se calcula usando la fórmula:
\[ F_r = \mu \cdot N \]

\( N \) es la fuerza normal. En un plano inclinado, la fuerza normal se calcula como:
\[ N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \]

Sustituimos:
\[ N = 5 \, \text{kg} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2 \cdot \cos(30^\circ) \]
\[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 \]
\[ N = 5 \cdot 9,8 \cdot 0,866 \approx 42,4 \, \text{N} \]

Ahora, calculamos la fuerza de rozamiento:
\[ F_r = \mu \cdot N \]
\[ F_r = 0,25 \cdot 42,4 \]
\[ F_r = 10,6 \, \text{N} \]

Entonces el trabajo de rozamiento \( W_r \) se calcula como:
\[ W_r = F_r \cdot \Delta x \]
Donde \( \Delta x = L = 4 \) m (la distancia recorrida a lo largo del plano).

\[ W_r = 10,6 \, \text{N} \cdot 4 \, \text{m} \]
\[ W_r = 42,4 \, \text{J} \]

El trabajo de rozamiento es negativo porque la fuerza de rozamiento actúa en sentido opuesto al movimiento:
\[ W_r = -42,4 \, \text{J} \]

 b) La energía potencial gravitatoria cuando el bloque está en lo alto del plano

La energía potencial gravitatoria \( E_p \) se calcula con:
\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]

\( h \) es la altura vertical del plano. Fíjate en este detalle, para encontrar \( h \), usamos la relación trigonométrica en el triángulo rectángulo formado por el plano inclinado:
\[ h = L \cdot \sin(\alpha) \]
\[ \sin(30^\circ) = 0,5 \]
\[ h = 4 \cdot 0,5 = 2 \, \text{m} \]

Ahora ya podemos calcular \( E_p \):
\[ E_p = 5 \, \text{kg} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2 \cdot 2 \, \text{m} \]
\[ E_p = 98 \, \text{J} \]

c) La energía cinética y la velocidad del bloque al final del plano

La energía cinética \( E_c \) del bloque al final del plano se obtiene usando el principio de conservación de la energía. La energía total inicial es la energía potencial \( E_p \), y el trabajo de rozamiento \( W_r \) se resta de esta energía para encontrar la energía cinética final.

\[ E_c = E_p + W_r \]
\[ E_c = 98 \, \text{J} – 42,4 \, \text{J} \]
\[ E_c = 55,6 \, \text{J} \]

La fórmula de la energía cinética no permite calcular la velocidad:
\[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]

Despejamos \( v \) y sustituimos:
\[ v^2 = \frac{2 E_c}{m} \]
\[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 55,6 \, \text{J}}{5 \, \text{kg}} \]
\[ v = \sqrt{22,24} \]
\[ v \approx 4,7 \, \text{m/s} \]

Saludos!