Parte (a): Calcular el módulo de la fuerza aplicada

Primero, definamos todas las fuerzas involucradas para poder usar la Segunda Ley de Newton, que nos dice que la fuerza neta sobre un objeto es igual a su masa multiplicada por su aceleración.

Fuerzas en Juego:

1. Fuerza aplicada \( \mathbf{F} \): Esta es la fuerza que estamos buscando, y se descompone en dos componentes:
– Componente horizontal: \( F_x = F \cos \theta \)
– Componente vertical: \( F_y = F \sin \theta \)

Aquí, \( \theta = 30^\circ \).

2. Peso del bloque \( \mathbf{P} \): El peso es la fuerza que ejerce la gravedad sobre el bloque, \( P = mg \), donde \( m = 50 \, \text{kg} \) y \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \). Entonces, el peso es:
\[
P = 50 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}^2 = 490 \, \text{N}
\]

3. Fuerza normal \( \mathbf{N} \): Esta es la fuerza que ejerce la superficie hacia arriba, contrarrestando el peso del bloque, y es ajustada por la componente vertical de la fuerza aplicada:
\[
N = P – F \sin \theta
\]

4. Fuerza de fricción cinética \( \mathbf{f}_r \): Esta fuerza se opone al movimiento y depende de la normal:
\[
f_r = \mu N = \mu (P – F \sin \theta)
\]

Aplicamos la Segunda Ley de Newton:

Ahora aplicamos la Segunda Ley de Newton en la dirección horizontal (x), ya que es en esta dirección donde el bloque se mueve:
\[
F_x – f_r = ma
\]
Sustituyendo las expresiones anteriores:
\[
F \cos \theta – \mu (P – F \sin \theta) = ma
\]
Sustituimos los valores numéricos que conocemos:
\[
F \cos 30^\circ – 0,2 (490 \, \text{N} + F \sin 30^\circ) = 50 \, \text{kg} \times 0,50 \, \text{m/s}^2
\]

El coseno y el seno de \( 30^\circ \) son:
\[
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 \quad \text{y} \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0,5
\]
Sustituyendo:
\[
0,866F – 0,2(490 + 0,5F) = 25 \, \text{N}
\]
Distribuimos y simplificamos:
\[
0,866F – 98 – 0,1F = 25
\]
\[
0,966F = 123 \, \text{N}
\]
Finalmente, despejamos \( F \):
\[
F = \frac{123 \, \text{N}}{0,966} \approx 161 \, \text{N}
\]

Parte (b): Trabajo realizado por la fuerza aplicada

El trabajo \( W \) realizado por una fuerza es:
\[
W = F \Delta x \cos \alpha
\]

\( F = 161 \, \text{N} \) (fuerza aplicada)
-\( \Delta x = 20 \, \text{m} \) (desplazamiento)
-\( \alpha = 30^\circ \) (ángulo de la fuerza respecto al desplazamiento)

Sustituyendo:
\[
W = 161 \, \text{N} \times 20 \, \text{m} \times \cos 30^\circ
\]

\[
W = 161 \, \text{N} \times 20 \, \text{m} \times 0,866 \approx 2787,32 \, \text{J}
\]

Así que el trabajo realizado es aproximadamente:
\[
W \approx 2,8 \, \text{kJ}
\]

Parte (c): Energía cinética del bloque

\[
E_c = \frac{1}{2} m v^2
\]
Dado que no se nos da la velocidad directamente, podemos utilizar la relación de trabajo-energía y que sabemos la aceleración constante, usando:
\[
v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x
\]
Dado que partimos de reposo \( v_0 = 0 \):
\[
v^2 = 2a \Delta x
\]
Sustituyendo:
\[
v^2 = 2 \times 0,50 \, \text{m/s}^2 \times 20 \, \text{m} = 20 \, \text{m}^2/\text{s}^2
\]
Entonces la velocidad es:
\[
v = \sqrt{20} \, \text{m/s} \approx 4,47 \, \text{m/s}
\]

La energía cinética es entonces:
\[
E_c = \frac{1}{2} \times 50 \, \text{kg} \times (4,47 \, \text{m/s})^2 \approx 500 \, \text{J}
\]

Este resultado confirma que la energía cinética del bloque, después de haber recorrido 20 metros, es de 500 J.

Un saludo!!