Para calcular el trabajo total, primero debemos identificar las fuerzas que actúan sobre el bloque:

– Fuerza gravitatoria (Peso): \( mg \), dirigida verticalmente hacia abajo.
– Fuerza normal: \( N \), perpendicular al plano inclinado.
– Fuerza aplicada: \( F \), horizontal.
– Fuerza de rozamiento cinético: \( f_k = \mu_k N \), opuesta al movimiento.

Descomponemos las fuerzas en componentes paralelas y perpendiculares al plano inclinado:

– Peso:
– Componente paralela: \( mg \sin \theta \)
– Componente perpendicular: \( mg \cos \theta \)
– Fuerza aplicada:
– Componente paralela: \( F \sin \theta \)
– Componente perpendicular: \( F \cos \theta \)

Cálculo del Trabajo Total

El trabajo total es la suma del trabajo realizado por cada fuerza:

\[ W_{\text{total}} = W_F + W_g + W_N + W_{f_k} \]

– \( W_F \) es el trabajo realizado por la fuerza aplicada.
– \( W_g \) es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria.
– \( W_N \) es el trabajo realizado por la fuerza normal.
– \( W_{f_k} \) es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

Calculamos el trabajo de cada fuerza:

– \( W_F = F \sin \theta \Delta x \) (positivo, ya que la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección)
– \( W_g = -mg \sin \theta \Delta x \) (negativo, ya que la fuerza y el desplazamiento tienen direcciones opuestas)
– \( W_N = 0 \) (la fuerza normal es perpendicular al desplazamiento)
– \( W_{f_k} = -f_k \Delta x = -\mu_k N \Delta x \) (negativo, ya que la fuerza de rozamiento se opone al desplazamiento)

Para calcular \( W_{f_k} \), necesitamos encontrar la fuerza normal \( N \). Como el bloque no se mueve en la dirección perpendicular al plano, la suma de las fuerzas en esa dirección es cero:

\[ N – mg \cos \theta + F \cos \theta = 0 \]

Despejando \( N \):

\[ N = mg \cos \theta – F \cos \theta \]

Sustituyendo en la expresión de \( W_{f_k} \):

\[ W_{f_k} = -\mu_k (mg \cos \theta – F \cos \theta) \Delta x \]

Sumando todos los trabajos, obtenemos el trabajo total:

\[ W_{\text{total}} = (F \sin \theta – mg \sin \theta – \mu_k (mg \cos \theta – F \cos \theta)) \Delta x \]

Sustituyendo los valores numéricos:

\[ W_{\text{total}} = (16 \, \text{N}) \sin 20^\circ (3.1 \, \text{m}) – (2.2 \, \text{kg}) (9.81 \, \text{m/s}^2) \sin 20^\circ (3.1 \, \text{m}) – 0.2 \left[(2.2 \, \text{kg}) (9.81 \, \text{m/s}^2) \cos 20^\circ – (16 \, \text{N}) \cos 20^\circ \right] (3.1 \, \text{m}) \]

\[ W_{\text{total}} \approx 7.80 \, \text{J} \]

Cálculo de la Velocidad Final

Utilizamos el teorema del trabajo y la energía cinética:

\[ W_{\text{total}} = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 – \frac{1}{2} m v_0^2 \]

– \( \Delta K \) es el cambio en la energía cinética.
– \( v_f \) es la velocidad final.
– \( v_0 \) es la velocidad inicial.

Despejando \( v_f \):

\[ v_f = \sqrt{v_0^2 + \frac{2W_{\text{total}}}{m}} \]

Sustituyendo los valores numéricos:

\[ v_f = \sqrt{(1.8 \, \text{m/s})^2 + \frac{2 (7.80 \, \text{J})}{2.2 \, \text{kg}}} \approx 2.78 \, \text{m/s} \]