Para resolver este problema, comenzaremos analizando el tiempo que tarda el perro en llegar al refugio. Utilizaremos la fórmula \(t = \frac{d}{v}\), donde \(t\) es el tiempo, \(d\) es la distancia y \(v\) es la velocidad.

Tiempo que tarda el perro en llegar al refugio

\[ t_{\text{perro}} = \frac{9 \ \text{km}}{8 \ \text{km/h}} = 1.125 \ \text{hr} \]

Este tiempo es el que el perro tarda en llegar al refugio y comenzar a regresar hacia su amo.

Distancia recorrida por el amo hasta el encuentro

La posición del amo en función del tiempo está dada por la ecuación \(X_{\text{amo}} = -4.5 + 4t\), y la posición del perro está dada por \(X_{\text{perro}} = -8t\). Para encontrar el punto de encuentro, igualamos las dos expresiones:

\[ -4.5 + 4t = -8t \]

Resolviendo esta ecuación, encontramos \(t = 0.375 \ \text{hr}\). Sustituimos este valor en la ecuación de posición del amo para obtener la distancia recorrida:

\[ X_{\text{amo}} = -4.5 + 4 \times 0.375 = 6 \ \text{km} \]

Por lo tanto, el perro y el amo se encuentran a 6 km del punto de inicio del amo.

Distancia total recorrida por el perro

Ahora calcularemos la distancia total que el perro ha recorrido hasta que ambos llegan al refugio. El tiempo total que tarda el amo en llegar al refugio es \(t_{\text{total}} = \frac{9 \ \text{km}}{4 \ \text{km/h}} = 2.25 \ \text{hr}\). Multiplicamos este tiempo total por la velocidad del perro para obtener la distancia total recorrida por el perro:

\[ X_{\text{total perro}} = t_{\text{total}} \times 8 \ \text{km/h} = 18 \ \text{km} \]

Por lo tanto, la distancia total que el perro ha recorrido es de 18 km.