Primero, es esencial comprender la situación física que se nos presenta. Tenemos dos fuerzas actuando sobre el primer cuerpo:
1. La fuerza gravitatoria (\( F_g \)), que tira del cuerpo hacia abajo debido a su peso.
2. La fuerza eléctrica (\( F_e \)), que actúa entre las dos cargas. Dado que las cargas son de signos contrarios, esta fuerza será de atracción, es decir, tirará del primer cuerpo hacia arriba.

Para que el cuerpo se mantenga en equilibrio y no caiga, la fuerza eléctrica que lo atrae hacia arriba debe igualar en magnitud a la fuerza gravitatoria que lo empuja hacia abajo.

Fuerza gravitatoria (\( F_g \)):

La fuerza gravitatoria es simplemente el peso del cuerpo. El peso \( W \) de un cuerpo se calcula como:

\[ F_g = W = 1 \, \text{N} \]

Este es el valor de la fuerza con la que la Tierra atrae al cuerpo hacia abajo.

Fuerza eléctrica (\( F_e \)):

La fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales en reposo se describe mediante la ley de Coulomb, que nos dice que:

\[ F_e = k \frac{|Q \cdot q|}{r^2} \]

\( k \) es la constante de Coulomb, que tiene un valor de \( 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2} \).
\( Q \) y \( q \) son las magnitudes de las dos cargas. Aquí, \( Q = 3 \, \mu\text{C} = 3 \times 10^{-6} \, \text{C} \) y \( q = 2 \, \mu\text{C} = 2 \times 10^{-6} \, \text{C} \).
\( r \) es la distancia entre las dos cargas, que es lo que queremos encontrar.

Condición de equilibrio:

Para que el cuerpo no caiga, la fuerza eléctrica hacia arriba debe igualar la fuerza gravitatoria hacia abajo. Es decir:

\[ F_e = F_g \]

Sustituyendo la expresión de \( F_e \) y \( F_g \) en la ecuación de equilibrio, tenemos:

\[ k \frac{|Q \cdot q|}{r^2} = 1 \, \text{N} \]

Ahora, nuestro objetivo es encontrar \( r \). Despejamos \( r^2 \) de la ecuación:

\[ r^2 = k \frac{|Q \cdot q|}{1 \, \text{N}} \]

Y luego, sacamos la raíz cuadrada para obtener \( r \):

\[ r = \sqrt{k \frac{|Q \cdot q|}{1 \, \text{N}}} \]

\[ r = \sqrt{(9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \times \frac{(3 \times 10^{-6} \, \text{C}) \times (2 \times 10^{-6} \, \text{C})}{1 \, \text{N}}} \]

Vamos a realizar los cálculos paso a paso:

Primero, multiplicamos las cargas \( Q \) y \( q \):

\[ 3 \times 10^{-6} \, \text{C} \times 2 \times 10^{-6} \, \text{C} = 6 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 \]

Luego, multiplicamos por la constante de Coulomb \( k \):

\[ 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2} \times 6 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 = 54 \times 10^{-3} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \]

Finalmente, tomamos la raíz cuadrada:

\[ r = \sqrt{54 \times 10^{-3} \, \text{m}^2} = \sqrt{0.054 \, \text{m}^2} \approx 0.232 \, \text{m} \]