a) Cálculo del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento

Primero, necesitamos determinar la fuerza de rozamiento \( F_r \) que actúa sobre el cuerpo mientras se desliza por el plano inclinado. La fuerza de rozamiento se calcula utilizando la fórmula:

\[
F_r = \mu \cdot N
\]

La fuerza normal \( N \) no es igual al peso \( mg \), ya que el cuerpo está en un plano inclinado. \( N \) se puede calcular como:

\[
N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)
\]

Sustituyendo los valores:

\[
N = 10 \, \text{kg} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2 \cdot \cos(30^\circ)
\]

Sabemos que \( \cos(30^\circ) \approx 0,866 \), por lo que:

\[
N = 10 \, \text{kg} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2 \cdot 0,866 \approx 84,87 \, \text{N}
\]

Ahora que tenemos la fuerza normal, calculamos la fuerza de rozamiento:

\[
F_r = 0,3 \cdot 84,87 \, \text{N} \approx 25,46 \, \text{N}
\]

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento \( W_r \) se calcula como:

\[
W_r = -F_r \cdot \Delta x
\]

\( \Delta x \) es la distancia recorrida por el cuerpo a lo largo del plano (7 m).

Sustituyendo los valores:

\[
W_r = -25,46 \, \text{N} \cdot 7 \, \text{m} \approx -178,22 \, \text{J}
\]

El signo negativo en el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento se debe a que la fuerza de rozamiento siempre actúa en dirección opuesta al movimiento del objeto

b) Energía mecánica del cuerpo en reposo en lo alto del plano

Cuando el cuerpo está en reposo en la parte superior del plano, solo tiene energía potencial gravitatoria, que se calcula como:

\[
E_p = m \cdot g \cdot h
\]

Primero, necesitamos encontrar la altura \( h \) del cuerpo sobre la base del plano. Esto se obtiene utilizando la componente vertical de la longitud del plano:

\[
h = \Delta x \cdot \sin(\alpha)
\]

Sustituyendo:

\[
h = 7 \, \text{m} \cdot \sin(30^\circ)
\]

Como \( \sin(30^\circ) = 0,5 \):

\[
h = 7 \, \text{m} \cdot 0,5 = 3,5 \, \text{m}
\]

Ahora calculamos la energía potencial:

\[
E_p = 10 \, \text{kg} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2 \cdot 3,5 \, \text{m} = 343 \, \text{J}
\]

c) Energía cinética y velocidad al final del plano

A medida que el cuerpo desciende por el plano, su energía potencial se convierte en energía cinética, y parte de ella se disipa por el trabajo de rozamiento. La energía cinética \( E_c \) al final del plano es:

\[
E_c = E_p + W_r
\]

Sustituyendo los valores que ya calculamos:

\[
E_c = 343 \, \text{J} + (-178 \, \text{J}) \approx 165 \, \text{J}
\]

Finalmente, para encontrar la velocidad \( v \) del cuerpo al final del plano, usamos la relación entre energía cinética y velocidad:

\[
E_c = \frac{1}{2} m v^2
\]

Despejamos la velocidad:

\[
v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}
\]

\[
v = \sqrt{\frac{2 \cdot 165 \, \text{J}}{10 \, \text{kg}}} = \sqrt{\frac{330 \, \text{J}}{10 \, \text{kg}}} = \sqrt{33 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \approx 5,75 \, \text{m/s}
\]

La energía cinética al final del plano es 165 J, y la velocidad del cuerpo es aproximadamente 5,75 m/s.