Primero, identifiquemos y definamos todas las variables y fuerzas involucradas:

– \( m \): masa del cuerpo, \( m = 12.5 \, \text{kg} \)
– \( F \): fuerza aplicada, \( F = 122 \, \text{N} \)
– \( \theta \): ángulo del plano inclinado \( \theta = 30^\circ \)
– \( \mu_k \): coeficiente de rozamiento cinético, \( \mu_k = 0.48 \)
– \( g \): aceleración debida a la gravedad, \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)

a) Cálculo de la Aceleración del Cuerpo

Para encontrar la aceleración, analizamos las fuerzas actuando sobre el cuerpo en la dirección del plano inclinado. Descomponemos la fuerza \( F \) y consideramos las fuerzas de fricción y gravedad.

Fuerza Aplicada y Fuerza de Gravedad
La fuerza aplicada \( F \) tiene una componente en la dirección del plano inclinado:
\[ F_x = F \cos(20^\circ) \]

La fuerza de gravedad tiene una componente paralela al plano inclinado:
\[ P_x = mg \sin(\theta) \]

Fuerza de Fricción
La fuerza de fricción cinética \( F_r \) se opone al movimiento y se calcula como:
\[ F_r = \mu_k N \]
donde \( N \) es la fuerza normal. La fuerza normal en el plano inclinado es:
\[ N = mg \cos(\theta) \]

Entonces, la fuerza de fricción es:
\[ F_r = \mu_k mg \cos(\theta) \]

Segunda Ley de Newton
Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección del plano inclinado encontramos la ecuacion del movimiento:
\[ F_x – P_x – F_r = ma \]

Sustituyendo las componentes de las fuerzas:
\[ F \cos(20^\circ) – mg \sin(30^\circ) – \mu_k mg \cos(30^\circ) = ma \]

Reorganizamos para encontrar la aceleración \( a \):
\[ a = \frac{F \cos(20^\circ) – mg \sin(30^\circ) – \mu_k mg \cos(30^\circ)}{m} \]

Para mayor facilidad, calculamos cada término:
\[ F \cos(20^\circ) = 122 \times 0.9397 = 114.64 \, \text{N} \]
\[ mg \sin(30^\circ) = 12.5 \times 9.8 \times 0.5 = 61.25 \, \text{N} \]
\[ \mu_k mg \cos(30^\circ) = 0.48 \times 12.5 \times 9.8 \times 0.866 = 50.39 \, \text{N} \]

Sustituir ahora es mas fácil.:
\[ a = \frac{114.64 \, \text{N} – 61.25 \, \text{N} – 50.39 \, \text{N}}{12.5 \, \text{kg}} \]
\[ a = \frac{114.64 – 61.25 – 50.39}{12.5} \]
\[ a = \frac{3}{12.5} \]
\[ a = 0.24 \, \text{m/s}^2 \]

b) Cálculo del Tiempo para Recorrer 18.2 m

Usamos la ecuación del movimiento uniformemente acelerado:
\[ x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

Como \( x_0 = 0 \) y \( v_0 = 0 \), la ecuación se simplifica a:
\[ x = \frac{1}{2} a t^2 \]

Despejamos \( t \):
\[ t^2 = \frac{2x}{a} \]
\[ t = \sqrt{\frac{2x}{a}} \]

Sustituyendo los valores:
\[ t = \sqrt{\frac{2 \times 18.2 \, \text{m}}{0.24 \, \text{m/s}^2}} \]
\[ t = \sqrt{\frac{36.4}{0.24}} \]
\[ t = \sqrt{151.67} \]
\[ t \approx 12.32 \, \text{s} \]

Ver mas problemas de planos inclinados y problemas donde actúa la fuerza de rozamiento