El problema nos indica que tenemos dos cuerpos:
– Cuerpo 1 con una masa \( m_1 = 15 \) kg, que se mueve a lo largo del eje X con una velocidad \( v_1 = 2 \) m/s.
– Cuerpo 2 con una masa \( m_2 = 10 \) kg, que se mueve a lo largo del eje Y con una velocidad \( v_2 = 4 \) m/s.

Estos cuerpos chocan en el origen de coordenadas, y después del choque, permanecen juntos. Nuestro objetivo es encontrar:
a) La velocidad del sistema combinado justo después del choque.
b) El ángulo que esta velocidad resultante forma con el eje X.

Para abordar este problema, utilizamos el principio de conservación del momento lineal. Este principio nos dice que el momento total del sistema antes del choque debe ser igual al momento total del sistema después del choque, siempre que no haya fuerzas externas involucradas.

El momento lineal \( \mathbf{p} \) de un cuerpo se define como el producto de su masa \( m \) y su velocidad \( \mathbf{v} \):
\[ \mathbf{p} = m \cdot \mathbf{v} \]

En nuestro caso, como los cuerpos se mueven en diferentes direcciones (uno a lo largo del eje X y el otro a lo largo del eje Y), debemos considerar las componentes del momento lineal en ambas direcciones.

a) Cálculo de la Velocidad Después del Choque:

El momento lineal total antes del choque se compone de las componentes \( p_x \) y \( p_y \) en las direcciones X e Y, respectivamente.

– Para el Cuerpo 1 (movimiento a lo largo del eje X):
\[ p_{1x} = m_1 \cdot v_1 = 15 \, \text{kg} \times 2 \, \text{m/s} = 30 \, \text{kg m/s} \]

– Para el Cuerpo 2 (movimiento a lo largo del eje Y):
\[ p_{2y} = m_2 \cdot v_2 = 10 \, \text{kg} \times 4 \, \text{m/s} = 40 \, \text{kg m/s} \]

Ahora, después del choque, ambos cuerpos se mueven juntos como un solo cuerpo con una masa combinada de \( m_1 + m_2 = 15 \, \text{kg} + 10 \, \text{kg} = 25 \, \text{kg} \).

La velocidad del sistema combinado, que llamaremos \( \mathbf{v_f} \), tiene componentes \( v_{fx} \) y \( v_{fy} \) en las direcciones X e Y, respectivamente.

Según la conservación del momento lineal:

\[ p_{1x} = (m_1 + m_2) \cdot v_{fx} \]
\[ 30 \, \text{kg m/s} = 25 \, \text{kg} \times v_{fx} \]

De aquí, podemos resolver para \( v_{fx} \):
\[ v_{fx} = \frac{30 \, \text{kg m/s}}{25 \, \text{kg}} = 1.2 \, \text{m/s} \]

Para la componente en Y:

\[ p_{2y} = (m_1 + m_2) \cdot v_{fy} \]
\[ 40 \, \text{kg m/s} = 25 \, \text{kg} \times v_{fy} \]

Resolviendo para \( v_{fy} \):
\[ v_{fy} = \frac{40 \, \text{kg m/s}}{25 \, \text{kg}} = 1.6 \, \text{m/s} \]

Velocidad Resultante:
La magnitud de la velocidad resultante \( v_f \) se encuentra utilizando el teorema de Pitágoras, ya que estamos tratando con componentes perpendiculares:

\[ v_f = \sqrt{v_{fx}^2 + v_{fy}^2} \]

Sustituyendo los valores que hemos calculado:

\[ v_f = \sqrt{(1.2 \, \text{m/s})^2 + (1.6 \, \text{m/s})^2} \]
\[ v_f = \sqrt{1.44 \, \text{m}^2/\text{s}^2 + 2.56 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \]
\[ v_f = 2.0 \, \text{m/s} \]

b) Cálculo del Ángulo con el Eje X:

Para determinar el ángulo \( \alpha \) que la velocidad resultante forma con el eje X, utilizamos la tangente del ángulo:

\[ \tan(\alpha) = \frac{v_{fy}}{v_{fx}} \]

Sustituyendo:

\[ \tan(\alpha) = \frac{1.6 \, \text{m/s}}{1.2 \, \text{m/s}} = \frac{4}{3} \]

Para encontrar el ángulo, tomamos la función inversa de la tangente:

\[ \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \]

Usando una calculadora o tablas trigonométricas:

\[ \alpha \approx 53.13^\circ \]