Tenemos un cuerpo que parte del reposo, es decir, su velocidad inicial es cero, y se desliza sin rozamiento desde una altura inicial \( h_C \) a través de una pista en forma de rizo.

Consideremos que en este rizo, el cuerpo pasa por dos puntos importantes:
– Punto A: que está a una altura \( h_A \) del suelo.
– Punto B: que está a una altura \( h_B \) del suelo y, además, corresponde al punto más bajo del rizo, que tiene un radio \( R \).

La aceleración debida a la gravedad es \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \).

a) Velocidad del cuerpo al pasar por el punto A

Primero, vamos a aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. Este principio nos dice que, en ausencia de fuerzas no conservativas como el rozamiento, la energía mecánica total (que es la suma de la energía cinética y la energía potencial) se mantiene constante.

Al principio, cuando el cuerpo está en reposo en la altura \( h_C \), toda la energía es potencial, ya que no tiene velocidad y por lo tanto no tiene energía cinética.

\[ \text{Energía inicial en } C = \text{Energía potencial en } C = m \cdot g \cdot h_C \]

Cuando el cuerpo alcanza el punto A, ha perdido parte de su energía potencial al descender, y esta energía potencial perdida se ha convertido en energía cinética. Así, la energía total en A será la suma de la energía cinética en A y la energía potencial en A.

\[ \text{Energía en } A = \text{Energía potencial en } A + \text{Energía cinética en } A \]

La conservación de la energía nos dice que:

\[ m \cdot g \cdot h_C = m \cdot g \cdot h_A + \frac{1}{2} m \cdot v_A^2 \]

Podemos simplificar esta expresión porque la masa \( m \) aparece en todos los términos y no es cero, por lo que podemos cancelarla:

\[ g \cdot h_C = g \cdot h_A + \frac{1}{2} v_A^2 \]

Nuestro objetivo es encontrar la velocidad \( v_A \) en el punto A, así que despejemos \( v_A^2 \):

\[ \frac{1}{2} v_A^2 = g \cdot (h_C – h_A) \]

\[ v_A^2 = 2 \cdot g \cdot (h_C – h_A) \]

Finalmente, tomamos la raíz cuadrada para encontrar \( v_A \):

\[ v_A = \sqrt{2 \cdot g \cdot (h_C – h_A)} \]

Sustituyendo los valores numéricos \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \), \( h_C = 6 \, \text{m} \), y \( h_A = 1.5 \, \text{m} \):

\[ v_A = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot (6 \, \text{m} – 1.5 \, \text{m})} \]

\[ v_A = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot 4.5 \, \text{m}} \]

\[ v_A = \sqrt{88.2 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \]

\[ v_A \approx 9.4 \, \text{m/s} \]

Por lo tanto, la velocidad del cuerpo al pasar por el punto A es aproximadamente 9.4 m/s.

b) Velocidad del cuerpo al pasar por el punto B

Aplicamos nuevamente el principio de conservación de la energía, pero esta vez entre el punto C y el punto B.

En el punto B, que está a una altura \( h_B \), parte de la energía potencial inicial se ha convertido en energía cinética. La conservación de la energía nos dice que:

\[ m \cdot g \cdot h_C = m \cdot g \cdot h_B + \frac{1}{2} m \cdot v_B^2 \]

De nuevo, simplificamos eliminando la masa:

\[ g \cdot h_C = g \cdot h_B + \frac{1}{2} v_B^2 \]

Despejamos \( v_B^2 \) para encontrar la velocidad en B:

\[ \frac{1}{2} v_B^2 = g \cdot (h_C – h_B) \]

\[ v_B^2 = 2 \cdot g \cdot (h_C – h_B) \]

Tomamos la raíz cuadrada para hallar \( v_B \):

\[ v_B = \sqrt{2 \cdot g \cdot (h_C – h_B)} \]

Sustituyendo los valores \( h_C = 6 \, \text{m} \) y \( h_B = 3 \, \text{m} \):

\[ v_B = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot (6 \, \text{m} – 3 \, \text{m})} \]

\[ v_B = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot 3 \, \text{m}} \]

\[ v_B = \sqrt{58.8 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \]

\[ v_B \approx 7.7 \, \text{m/s} \]

La velocidad del cuerpo al pasar por el punto B es aproximadamente 7.7 m/s.

 c) Altura inicial necesaria para que la fuerza centrípeta en B sea igual al peso

Para que la fuerza centrípeta en el punto B sea igual al peso del cuerpo, necesitamos analizar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en ese punto. La fuerza centrípeta requerida para mantener el movimiento circular en B viene dada por:

\[ F_c = \frac{m \cdot v_B^2}{R} \]

Queremos que esta fuerza centrípeta sea igual al peso del cuerpo, \( F_g = m \cdot g \):

\[ \frac{m \cdot v_B^2}{R} = m \cdot g \]

Nuevamente, podemos simplificar eliminando la masa \( m \):

\[ \frac{v_B^2}{R} = g \]

De esta ecuación, despejamos \( v_B^2 \):

\[ v_B^2 = R \cdot g \]

Sabemos que la energía mecánica total en la altura inicial \( h \) debe ser igual a la energía mecánica en el punto B más la energía cinética necesaria para que la fuerza centrípeta sea igual al peso. Entonces, usamos la conservación de la energía entre \( h \) y \( h_B \):

\[ m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot h_B + \frac{1}{2} m \cdot v_B^2 \]

Simplificamos eliminando la masa \( m \):

\[ g \cdot h = g \cdot h_B + \frac{1}{2} \cdot R \cdot g \]

Podemos simplificar aún más dividiendo por \( g \):

\[ h = h_B + \frac{1}{2} R \]

Ahora sustituimos \( h_B = 3 \, \text{m} \) y \( R = 1.5 \, \text{m} \):

\[ h = 3 \, \text{m} + \frac{1}{2} \cdot 1.5 \, \text{m} \]

\[ h = 3 \, \text{m} + 0.75 \, \text{m} \]

\[ h = 3.75 \, \text{m} \]

Por lo tanto, para que la fuerza centrípeta en el punto B sea igual al peso del cuerpo, debemos dejarlo caer desde una altura de 3.75 metros.

Saludos!!