Un futbolista chuta hacia la portería con una v0 de 17 m/s y un ángulo de tiro con la horizontal de 45º.
Calcula:
a) El alcance máximo.
b) El tiempo de vuelo.
eskeletorNovato
Un futbolista chuta hacia la portería con una V0 de 17 m/s y un ángulo de tiro de 45º
Compartir
Para resolver este problema, utilizaremos las ecuaciones del movimiento parabólico, ya que el lanzamiento del futbolista forma una trayectoria parabólica. Las ecuaciones del movimiento para un objeto lanzado con una velocidad inicial en un ángulo dado son:
1. Alcance máximo (a):
El alcance máximo es la distancia horizontal recorrida por el proyectil antes de tocar el suelo. Se calcula utilizando la ecuación:
\[ R = \frac{{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}}{g} \]
Sustituyendo los valores dados, \( v_0 = 17 \, \text{m/s} \) y \( \theta = 45^\circ \), obtenemos:
\[ R = \frac{{(17 \, \text{m/s})^2 \cdot \sin(2 \cdot 45^\circ)}}{9,8 \, \text{m/s}^2} \]
\[ R = \frac{{289 \cdot \sin(90^\circ)}}{9,8} \]
\[ R = \frac{{289 \cdot 1}}{9,8} \]
\[ R \approx 29,5 \, \text{m} \]
El alcance máximo es de \( 29,5 \, \text{m} \).
2. Tiempo de vuelo (b):
El tiempo de vuelo es el tiempo total que el proyectil está en el aire antes de tocar el suelo. Se puede calcular utilizando la ecuación del tiempo de vuelo:
\[ T = \frac{{2 \cdot v_0 \cdot \sin(\theta)}}{g} \]
Sustituyendo los valores conocidos, \( v_0 = 17 \, \text{m/s} \) y \( \theta = 45^\circ \), obtenemos:
\[ T = \frac{{2 \cdot (17 \, \text{m/s}) \cdot \sin(45^\circ)}}{9,8 \, \text{m/s}^2} \]
\[ T = \frac{{34 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}}{9,8} \]
\[ T = \frac{{34 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}}{9,8} \]
\[ T \approx 2,45 \, \text{s} \]
El tiempo de vuelo es de aproximadamente \( 2,45 \, \text{s} \).
Versión alternativa, tomando las componentes cartesianas de la velocidad inicial
La velocidad inicial se puede descomponer en sus componentes horizontal (\( v_{0x} \)) y vertical (\( v_{0y} \)) utilizando trigonometría:
\[ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) \]
\[ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) \]
Para un ángulo de tiro de \( 45^\circ \), tenemos:
\[ v_{0x} = 17 \, \text{m/s} \cdot \cos(45^\circ) = \frac{17}{\sqrt{2}} \, \text{m/s} \]
\[ v_{0y} = 17 \, \text{m/s} \cdot \sin(45^\circ) = \frac{17}{\sqrt{2}} \, \text{m/s} \]
El alcance máximo se determina usando la componente horizontal de la velocidad inicial (\( v_{0x} \)) y la fórmula del movimiento parabólico para el alcance máximo:
\[ R = \frac{{v_{0x}^2}}{g} \]
Sustituyendo los valores obtenidos:
\[ R = \frac{{(17/\sqrt{2} \, \text{m/s})^2}}{9,8 \, \text{m/s}^2} \]
\[ R = \frac{{\frac{289}{2}}}{9,8} \]
\[ R = \frac{{289}}{{2 \cdot 9,8}} \]
\[ R \approx 29,5 \, \text{m} \]
El alcance máximo es de \( 29,5 \, \text{m} \).
El tiempo de vuelo se calcula utilizando la componente vertical de la velocidad inicial (\( v_{0y} \)) y la ecuación del movimiento parabólico para el tiempo de vuelo:
\[ T = \frac{{2 \cdot v_{0y}}}{g} \]
Sustituyendo los valores:
\[ T = \frac{{2 \cdot \frac{17}{\sqrt{2}} \, \text{m/s}}}{9,8 \, \text{m/s}^2} \]
\[ T = \frac{{\frac{34}{\sqrt{2}}}}{9,8} \]
\[ T = \frac{{34}}{{\sqrt{2} \cdot 9,8}} \]
\[ T \approx 2,45 \, \text{s} \]
El tiempo de vuelo es de aproximadamente \( 2,45 \, \text{s} \).