Parte a)

Lo primero que debemos entender es qué tipo de movimiento realiza el globo. Según el enunciado, el globo tiene una aceleración constante hacia arriba de \( a = 2 \ \text{m/s}^2 \). Además, desde el inicio, lleva una velocidad constante hacia adelante de \( v_0 = 5 \ \text{m/s} \).

Es decir, estamos frente a dos movimientos combinados. Por un lado, el globo sube, y por el otro, avanza horizontalmente. El movimiento ascensional es un movimiento uniformemente acelerado, porque hay una aceleración constante en la dirección vertical. En la dirección horizontal, no hay aceleración, solo una velocidad constante. Entonces, lo que tenemos aquí es un movimiento parabólico, resultado de combinar un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección horizontal con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección vertical. ¡Esa es la clave y puedes verlo en la imagen del problema!

Parte b)

Ahora, para entender cómo se mueve este globo, necesitamos la ecuación de su movimiento.

Primero, establecemos nuestro sistema de referencia. El punto de partida del globo, en \( t = 0 \), es \( r_0 = (0 \hat{i}, 50 \hat{j}) \) en coordenadas vectoriales, donde \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\) son las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.

La aceleración es solo en la dirección vertical, \( \vec{a} = 2 \hat{j} \ \text{m/s}^2 \), y la velocidad inicial es solo en la dirección horizontal, \( \vec{v}_0 = 5 \hat{i} \ \text{m/s} \).

La ecuación de movimiento de un cuerpo que tiene una aceleración constante se describe como:
\[
\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2
\]

Sustituyamos los valores que tenemos:
\[
\vec{r}(t) = (0 \hat{i} + 50 \hat{j}) + (5 \hat{i}) t + \frac{1}{2} (2 \hat{j}) t^2
\]

Simplificando:
\[
\vec{r}(t) = 5t \hat{i} + \left( 50 + t^2 \right) \hat{j}
\]

Esta ecuación es la que describe la posición del globo en cualquier instante de tiempo \( t \). Separando en componentes:
– En la dirección horizontal (eje \( x \)): \( x(t) = 5t \)
– En la dirección vertical (eje \( y \)): \( y(t) = 50 + t^2 \)

Parte c)

Sabemos que la posición horizontal \( x(t) = 5t \). Nos dicen que \( x = 100 \) metros, así que podemos despejar el tiempo \( t \) necesario para que esto ocurra:

\[
100 = 5t
\]

Despejamos \( t \):

\[
t = \frac{100}{5} = 20 \ \text{segundos}
\]

Con este tiempo en mano, ahora podemos encontrar la altura \( y(t) \) cuando \( t = 20 \) segundos:

\[
y(20) = 50 + (20)^2
\]

Realizando la operación:

\[
y(20) = 50 + 400 = 450 \ \text{metros}
\]