Para abordar este problemadebemos aplicar la ley de Snell, que relaciona los ángulos de incidencia y refracción con los índices de refracción de los medios involucrados:

\[ n_1 \cdot \sin(\theta_i) = n_2 \cdot \sin(\theta_r) \]

\( n_1 \) y \( n_2 \) son los índices de refracción de los medios 1 y 2 respectivamente, \( \theta_i \) es el ángulo de incidencia y \( \theta_r \) es el ángulo de refracción.

a) Para calcular el índice de refracción del material (medio 2), usamos la ley de Snell y los datos proporcionados:

\[ n_2 = \frac{n_1 \cdot \sin(\theta_i)}{\sin(\theta_r)} \]

Dado que el haz de luz viaja por el aire, \( n_1 = 1,00 \). Utilizando los ángulos dados, \( \theta_i = 30^\circ \) y \( \theta_r = 20^\circ \), sustituimos en la ecuación:

\[ n_2 = \frac{1,00 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(20^\circ)} \]

Calculando el valor de \( n_2 \), obtenemos aproximadamente \( n_2 = 1,46 \).

Ahora, para determinar la velocidad de la luz en el medio 2, podemos usar la relación entre el índice de refracción y la velocidad de la luz en el vacío:

\[ n_2 = \frac{c}{v_2} \]

Donde \( c \) es la velocidad de la luz en el vacío, dada como \( 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \). Despejamos \( v_2 \):

\[ v_2 = \frac{c}{n_2} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{1,46} \]

Resolviendo, encontramos que \( v_2 \approx 2,05 \times 10^8 \, \text{m/s} \).

b) El ángulo de incidencia límite es aquel para el cual el ángulo de refracción es de \( 90^\circ \), es decir, el rayo refractado sale tangente a la superficie de separación de ambos medios. Si aumentamos el ángulo de incidencia por encima del límite, no habrá refracción, solo reflexión total.

Para calcular el ángulo límite, utilizamos la ley de Snell nuevamente:

\[ n_1 \cdot \sin(\theta_L) = n_2 \cdot \sin(90^\circ) \]

Dado que \( \sin(90^\circ) = 1 \), la ecuación se simplifica a:

\[ n_1 \cdot \sin(\theta_L) = n_2 \]

Despejamos \( \theta_L \):

\[ \sin(\theta_L) = \frac{n_2}{n_1} \]

\[ \theta_L = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \]

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

\[ \theta_L = \sin^{-1}\left(\frac{1,46}{1,00}\right) \]

\[ \theta_L \approx 43,23^\circ \]

Este ángulo límite nos indica que si el haz luminoso incide desde el segundo medio hacia el aire con un ángulo mayor a \( 43,23^\circ \), no habrá refracción, solo reflexión total.