En primer lugar, recordemos que la ley de Hooke describe el comportamiento de un resorte o muelle elástico. Esta ley establece que la fuerza ejercida por un resorte es directamente proporcional a la elongación o compresión del resorte. Matemáticamente, se expresa como \( F = -k \cdot \Delta l \), donde \( F \) es la fuerza aplicada, \( k \) es la constante del resorte y \( \Delta l \) es el cambio en la longitud del resorte.

Dado que se nos proporciona información sobre la longitud del muelle en reposo y bajo una fuerza específica, podemos utilizarla para determinar la constante del muelle y luego aplicarla para resolver las otras situaciones planteadas.

 a) Valor de la constante del muelle (\( k \)):
La fórmula para la ley de Hooke nos da \( F = -k \cdot \Delta l \). En este caso, la fuerza \( F \) es de 2 N y el cambio en longitud \( \Delta l \) es de \( 90 \, \text{mm} – 80 \, \text{mm} = 10 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m} \). Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

\[ 2 \, \text{N} = -k \cdot 0.1 \, \text{m} \]

Despejamos \( k \):

\[ k = \frac{-2 \, \text{N}}{0.1 \, \text{m}} = -20 \, \text{N/m} \]

Sin embargo, es común expresar la constante del resorte como un valor positivo, por lo que \( k = 20 \, \text{N/m} \). En términos físicos, el signo negativo simplemente indica que la fuerza restauradora del resorte se opone al desplazamiento.

b) Longitud del muelle con una fuerza de 6 N:
Utilizamos la ley de Hooke para encontrar el cambio en longitud (\( \Delta l \)) cuando la fuerza es de 6 N:

\[ 6 \, \text{N} = 20 \, \text{N/m} \cdot \Delta l \]

Despejamos \( \Delta l \):

\[ \Delta l = \frac{6 \, \text{N}}{20 \, \text{N/m}} = 0.3 \, \text{m} \]

Entonces, la longitud final del muelle es \( 8 \, \text{cm} + 0.3 \, \text{m} = 11 \, \text{cm} \).