Parte A: ¿El objeto caerá al suelo?

Cuando el objeto se lanza, posee una energía cinética (Ec) debido a su velocidad.

\[
E_c = \frac{1}{2} m v^2
\]

Para nuestro objeto:
– Masa (\(m\)) = 250 g = 0.25 kg
– Velocidad (\(v\)) = 3.2 m/s

Sustituyendo estos valores, obtenemos:

\[
E_c = \frac{1}{2} \times 0.25 \, \text{kg} \times (3.2 \, \text{m/s})^2 = 1.28 \, \text{J}
\]

Redondeando, la energía cinética inicial es aproximadamente \(1.3 \, \text{J}\).

El rozamiento entre el objeto y la mesa se opone al movimiento, y la fuerza de rozamiento cinético (\(F_r\)) se calcula mediante:

\[
F_r = \mu \times m \times g
\]

Nos dan \(\mu = 0.21\)

Sustituyendo los valores:

\[
F_r = 0.21 \times 0.25 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 = 0.5145 \, \text{N}
\]

Redondeando, la fuerza de rozamiento es aproximadamente \(0.52 \, \text{N}\).

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (\(W_r\)) mientras el objeto se desliza la distancia hasta el borde de la mesa (\(\Delta x = 1.4 \, \text{m}\)) es:

\[
W_r = -F_r \times \Delta x = -0.52 \, \text{N} \times 1.4 \, \text{m} = -0.728 \, \text{J}
\]

Redondeando, el trabajo es aproximadamente \(-0.72 \, \text{J}\).

Para determinar si el objeto cae, comparamos la energía cinética inicial con el trabajo realizado por el rozamiento. Si la energía cinética inicial es mayor que el trabajo de rozamiento, el objeto todavía tendrá energía para caer.

La energía cinética restante (\(E_{c, \text{final}}\)) es:

\[
E_{c, \text{final}} = E_c + W_r = 1.3 \, \text{J} – 0.72 \, \text{J} = 0.58 \, \text{J}
\]

Dado que \(E_{c, \text{final}} > 0\), el objeto tiene suficiente energía para caer al suelo.

Parte B: ¿A qué distancia de la mesa caerá el objeto?

La velocidad (\(v_1\)) del objeto al final de la mesa se puede determinar usando la energía cinética restante:

\[
v_1 = \sqrt{\frac{2 \times E_{c, \text{final}}}{m}}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
v_1 = \sqrt{\frac{2 \times 0.58 \, \text{J}}{0.25 \, \text{kg}}} = \sqrt{4.64} \, \text{m/s} \approx 2.15 \, \text{m/s}
\]

Redondeando, la velocidad al borde de la mesa es aproximadamente \(2.2 \, \text{m/s}\).

Para calcular el tiempo (\(t\)) que tarda el objeto en caer desde la altura de la mesa, usamos la fórmula del tiempo de caída libre:

\[
t = \sqrt{\frac{2 \times h}{g}}
\]

\(h = 0.9 \, \text{m}\) es la altura de la mesa.

Sustituyendo los valores:

\[
t = \sqrt{\frac{2 \times 0.9 \, \text{m}}{9.8 \, \text{m/s}^2}} = \sqrt{0.1837} \, \text{s} \approx 0.428 \, \text{s}
\]

Finalmente, para encontrar la distancia horizontal (\(x\)) desde el borde de la mesa hasta donde el objeto impacta el suelo, usamos:

\[
x = v_1 \times t
\]

Recordemos que en un tiro horizontal, la componente horizontal del movimiento sigue un MRU) Sustituyendo los valores calculados:

\[
x = 2.2 \, \text{m/s} \times 0.43 \, \text{s} = 0.946 \, \text{m}
\]

Redondeando, la distancia horizontal es aproximadamente \(0.95 \, \text{m}\).

Saludos!!!