Para resolver este problema, primero recordemos que en un oscilador armónico, la energía potencial elástica (Ep) y la energía cinética (Ec) están relacionadas por la conservación de la energía mecánica.

\[ Em = Ec + Ep \]

La energía potencial elástica (Ep) en un oscilador armónico se define como:

\[ Ep = \frac{1}{2} k x^2 \]

– \( k \) es la constante del resorte.
– \( x \) es la elongación o desplazamiento del oscilador desde la posición de equilibrio.

La energía cinética (Ec) en cualquier punto del movimiento se puede encontrar restando la energía potencial elástica de la energía mecánica total (Em):

\[ Ec = Em – Ep \]

La energía mecánica total en un oscilador armónico se conserva y es constante, es decir, por ejemplo cuando la energía cinética aumenta la energía potencial disminuye y viceversa, pero siempre se mantiene constante.

Sea la Energía mecánica dada por la expresión:

\[ Em = \frac{1}{2} k A^2 \]

Siendo  \( A \) es la amplitud o elongación del oscilador.

Sustituyendo \( Em \) en la ecuación para \( Ec \), obtenemos:

\[ Ec = \frac{1}{2} k A^2 – \frac{1}{2} k x^2 \]

Factorizando \( \frac{1}{2} k \) fuera de la ecuación:

\[ Ec = \frac{1}{2} k (A^2 – x^2) \]

Dado que nos dicen que el oscilador se encuentra en un instante donde \( x = \frac{1}{3} A \), sustituimos este valor en la ecuación de \( Ec \):

\[ Ec = \frac{1}{2} k \left( A^2 – \left( \frac{1}{3} A \right)^2 \right) \]

\[ Ec = \frac{1}{2} k \left( A^2 – \frac{1}{9} A^2 \right) \]

\[ Ec = \frac{1}{2} k \left( \frac{8}{9} A^2 \right) \]

\[ Ec = \frac{4}{9} k A^2 \]

Ahora, para determinar la relación entre la energía cinética y la energía potencial en este instante, dividimos \( Ec \) entre \( Ep \):

\[ \frac{Ec}{Ep} = \frac{\frac{4}{9} k A^2}{\frac{1}{2} k \left( \frac{1}{3} A \right)^2} \]

\[ \frac{Ec}{Ep} = \frac{\frac{4}{9} A^2}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} A^2} \]

\[ \frac{Ec}{Ep} = \frac{4}{9} \cdot \frac{18}{1} \]

\[ \frac{Ec}{Ep} = 8 \]

Entonces, en este instante, la relación entre la energía cinética y la energía potencial es \( \frac{Ec}{Ep} = 8 \).

La energía cinética es 8 veces mayor que la energía potencial en este punto específico del movimiento del oscilador armónico.

Conservación de la Energía Mecánica en un Oscilador Armónico

Cuando un oscilador armónico se encuentra en movimiento, la energía mecánica total (Em) del sistema se mantiene constante en ausencia de fuerzas no conservativas como la fricción. Esta energía mecánica total está compuesta por dos componentes principales: la energía cinética (Ec) y la energía potencial (Ep).

En el punto más alejado del equilibrio (amplitud máxima x = A), toda la energía mecánica se encuentra en forma de energía potencial elástica, ya que el resorte está completamente estirado o comprimido. En este punto, la energía potencial elástica es máxima y la energía cinética es cero. Como se ilustra en la figura.

En la posición de equilibrio (centro del movimiento), toda la energía mecánica se convierte en energía cinética, ya que el resorte no está estirado ni comprimido. En este punto, la energía cinética es máxima y la energía potencial elástica es cero.

Por lo tanto, la energía mecánica total en un oscilador armónico es la suma de la energía cinética y la energía potencial elástica en cualquier punto del movimiento. En el punto de amplitud máxima, donde la energía cinética es cero y la energía potencial elástica es máxima, la energía mecánica total es igual a la energía potencial elástica máxima. De esta manera, se llega a la expresión:

\[ Em = \frac{1}{2} k A^2 \]

Te comparto una simulación  de un oscilador armónico donde verás una masa oscilando en un resorte. En los gráficos de barras, podrás observar las energías cinética, gravitatoria y elástica. Ajusta la masa y la constante del resorte a tu gusto.

Haz clic aquí o en la imagen para ir al simulador de conservación de energía mecánica.

Dale al botón de EJECUTAR para empezar a ver cómo cambian las energías en los gráficos