Para resolver este problema, debemos analizar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

Fuerza gravitatoria (peso): \(mg\), dirigida verticalmente hacia abajo.
Fuerza normal: \(N\), perpendicular al plano inclinado.
Fuerza de rozamiento estático: \(f_s\), paralela al plano inclinado y opuesta a la posible dirección de movimiento.

Descomponemos la fuerza gravitatoria en componentes paralela y perpendicular al plano inclinado:

Componente paralela: \(mg \sin \theta\)
Componente perpendicular: \(mg \cos \theta\)

Condición para el Deslizamiento

El cuerpo comenzará a deslizarse cuando la componente paralela del peso (\(mg \sin \theta\)) supere la fuerza máxima de rozamiento estático (\(f_{s, \text{máx}}\)). La fuerza máxima de rozamiento estático se calcula como:

\[f_{s, \text{máx}} = \mu_s N\]

Como el cuerpo está en reposo, la suma de fuerzas en la dirección perpendicular al plano inclinado debe ser cero:

\[N – mg \cos \theta = 0\]

Por lo tanto:

\[N = mg \cos \theta\]

Ahora comparamos la componente paralela del peso y la fuerza máxima de rozamiento estático:

Componente paralela del peso: \(mg \sin \theta\)
Fuerza máxima de rozamiento estático: \(\mu_s N = \mu_s mg \cos \theta\)

Para que el cuerpo se deslice, debe cumplirse:

\[mg \sin \theta > \mu_s mg \cos \theta\]

Dividiendo ambos lados por \(mg \cos \theta\) (que es positivo):

\[\tan \theta > \mu_s\]

\[\tan 40^\circ \approx 0.839\]

\[\mu_s = 0.5\]

Como \(0.839 > 0.5\), se cumple la condición para el deslizamiento.

¿Sabías que…?

El ángulo crítico para el cual un cuerpo comienza a deslizarse en un plano inclinado se llama ángulo de rozamiento estático. Este ángulo se puede calcular como:

\[\theta_\text{crítico} = \arctan \mu_s\]

En este caso, el ángulo crítico es aproximadamente \(26.57^\circ\). Como el ángulo del plano (\(40^\circ\)) es mayor que el ángulo crítico, el cuerpo se deslizará.