a) Caso 1: La velocidad del protón es paralela al campo magnético (\( \mathbf{v} \parallel \mathbf{B} \))

Comencemos con la ecuación fundamental que describe la interacción de una carga en movimiento dentro de un campo magnético, la famosa Fuerza de Lorentz:

$$
\mathbf{F} = q \, \mathbf{v} \times \mathbf{B}
$$

Aquí:
\( \mathbf{F} \) es la fuerza que actúa sobre la partícula cargada (el protón, en este caso),
\( q \) es la carga del protón (\( q = +e \), donde \( e \) es la carga elemental, aproximadamente \( 1.6 \times 10^{-19} \) C),
\( \mathbf{v} \) es la velocidad del protón,
\( \mathbf{B} \) es el campo magnético,
\( \times \) representa el producto vectorial.

Ahora, como la velocidad \( \mathbf{v} \) es paralela al campo magnético \( \mathbf{B} \), el ángulo \( \theta \) entre \( \mathbf{v} \) y \( \mathbf{B} \) es \( 0^\circ \) o \( 180^\circ \). Recordemos que el producto vectorial depende del seno del ángulo entre los dos vectores involucrados:

$$
\mathbf{v} \times \mathbf{B} = |\mathbf{v}| |\mathbf{B}| \sin \theta \, \hat{\mathbf{n}}
$$

Donde \( \hat{\mathbf{n}} \) es un vector unitario perpendicular tanto a \( \mathbf{v} \) como a \( \mathbf{B} \). Para \( \theta = 0^\circ \) (o \( 180^\circ \)), tenemos \( \sin \theta = 0 \). Por lo tanto, la fuerza de Lorentz se anula:

$$
\mathbf{F} = q \, \mathbf{v} \times \mathbf{B} = q \, |\mathbf{v}| |\mathbf{B}| \cdot 0 = 0
$$

Si la fuerza es cero, significa que no hay ninguna influencia del campo magnético sobre el movimiento del protón. Así, el protón continuará su movimiento rectilíneo uniforme con la misma velocidad \( \mathbf{v} \) con la que entró en el campo magnético. Este comportamiento es coherente con la ley de inercia de Newton: un cuerpo que no está sujeto a fuerzas continuará en línea recta.

b) Caso 2: La velocidad del protón es perpendicular al campo magnético (\( \mathbf{v} \perp \mathbf{B} \))

Aquí es donde las cosas se ponen interesantes. Ahora, el ángulo \( \theta \) entre \( \mathbf{v} \) y \( \mathbf{B} \) es \( 90^\circ \), y el seno de \( 90^\circ \) es \( 1 \). Esto significa que la fuerza de Lorentz se maximiza:

$$
\mathbf{F} = q \, |\mathbf{v}| |\mathbf{B}| \sin 90^\circ = q \, v B
$$

Esta fuerza \( \mathbf{F} \) es siempre perpendicular tanto a \( \mathbf{v} \) como a \( \mathbf{B} \). Dado que la fuerza es perpendicular a la velocidad del protón, no cambia la magnitud de la velocidad, sino que altera su dirección. El resultado de esto es que la trayectoria del protón se curvará, y seguirá una trayectoria circular en el plano perpendicular al campo magnético.

La aceleración que produce esta fuerza es centrípeta, dirigida hacia el centro de la trayectoria circular. Sabemos que la aceleración centrípeta \( a_c \) está dada por:

$$
a_c = \frac{v^2}{r}
$$

Donde \( r \) es el radio de la trayectoria circular. La fuerza centrípeta es proporcionada por la fuerza de Lorentz, por lo que podemos igualarlas:

$$
q \, v \, B = \frac{m v^2}{r}
$$

\( m \) es la masa del protón. Despejando el radio \( r \), obtenemos:

$$
r = \frac{m v}{q B}
$$

Este radio \( r \) nos dice qué tan grande es la órbita circular que seguirá el protón en el campo magnético. Es importante notar que cuanto más fuerte sea el campo magnético \( B \) o más lenta sea la velocidad \( v \) del protón, más pequeño será el radio de la órbita.

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