Un protón penetra en el seno de un campo magnético B con velocidad v perpendicular al campo. El protón describe una trayectoria circular con un periodo de 2 · 10–6 s.
a) Dibuja un esquema con los vectores v , B y F en un punto de la trayectoria.
b) Calcula el valor del campo magnético.
c) Si introdujéramos en el campo un electrón con la misma velocidad v , ¿cómo cambiaría la trayectoria?
Datos:
\[
m_p^+ = 1,67 \times 10^{-27} \text{ kg}; \quad m_e^- = 9,11 \times 10^{-31} \text{ kg}; \]
\[\quad q_p^+ = 1,602 \times 10^{-19} \text{ C}.
\]
Para explicar el inciso utilizaremos la regla de la mano derecha y el producto vectorial.
La regla de la mano derecha nos indica la dirección del vector resultante del producto vectorial de dos vectores. Si colocamos el dedo índice en la dirección del primer vector (v, en este caso) y el dedo medio en la dirección del segundo vector (B), entonces el pulgar nos señalará la dirección del producto vectorial (F).
En este problema, la velocidad del protón está en el eje positivo de X (i), y el campo magnético está en el eje Y positivo (+j). Entonces, según la regla de la mano derecha, si colocamos el dedo índice en la dirección del eje X positivo (i) y el dedo medio en la dirección del eje Y positivo (+j), el pulgar nos señalará la dirección de la fuerza magnética.
Esto implica que la fuerza magnética actuará hacia el eje Z positivo (+k) o hacia fuera del plano del papel en el que estamos trabajando.
Cuando un protón penetra en el campo magnético con una velocidad perpendicular al campo, la fuerza magnética resultante es perpendicular tanto a la velocidad como al campo magnético. Esto conduce a una trayectoria circular, donde la fuerza magnética actúa como la fuerza centrípeta que mantiene al protón en la órbita circular.
Por lo tanto, el esquema que dibujemos mostrará la velocidad (v), el campo magnético (B) y la fuerza magnética (F) en un punto de la trayectoria, todos ellos perpendiculares entre sí, lo que confirma la dirección del movimiento circular del protón en el plano perpendicular al campo magnético, como se indica enel siguiente dibujo.
b) Para que se produzca una órbita circular, la fuerza centrípeta debe ser igual a la fuerza magnética. Utilizando la relación entre fuerza centrípeta y fuerza magnética:
\[ F_c = F_b \]
\[ \frac{m_pv^2}{r} = |q|vB \]
Recordemos que en un movimiento circular la velocidad lineal \( v \) es igual al producto de la velocidad angular \( \omega \) por el radio \( r \) de la trayectoria:
\[ v = \omega \cdot r \]
Y que la velocidad angular, a su vez, está relacionada con el periodo \( T \):
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]
Sustituyendo las expresiones de velocidad lineal y angular en la ecuación inicial, obtenemos:
\[ \frac{m_p \cdot (2\pi \cdot r/T)}{r} = |q| \cdot B \]
\[ (m_p \cdot 2\pi / T) = |q| \cdot B \]
Despejando \( B \), obtenemos:
\[ B = \frac{2\pi \cdot m_p}{|q| \cdot T} = 3.27 \times 10^{-2} \, \text{T} \]
c) Si introducimos un electrón con la misma velocidad, el sentido del giro será opuesto debido a la carga negativa del electrón. Además, como la masa del electrón es mucho menor que la del protón, el periodo de la órbita descrita por el electrón será diferente. El periodo para el electrón se calcula de manera similar:
\[ T = \frac{2\pi \cdot m_e}{|q| \cdot B} \]
Calculando, obtenemos \( T = 1.09 \times 10^{-9} \) s.
La diferencia en el periodo entre el protón y el electrón se debe principalmente a la diferencia en sus masas. El electrón, al tener una masa mucho menor, experimenta una fuerza magnética mayor por unidad de masa, lo que resulta en un periodo de órbita mucho más corto en comparación con el protón.