Un satélite se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra y tiene un periodo de 2h. ¿A qué altura de la superficie se encuentra el satélite?
Dato: Tomar el radio de la Tierra RT= 6400km
Un satélite se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra y tiene un periodo de 2h
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Primero estableceremos las fuerzas que actúan sobre el satélite en su órbita circular alrededor de la Tierra. Dado que se encuentra en una órbita estable, la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlo en su trayectoria circular es igual a la fuerza gravitatoria entre la Tierra y el satélite.
\[F_{\text{centrípeta}} = F_{\text{gravitatoria}}\]
Utilizando la ley de gravitación universal, donde \(G\) es la constante gravitatoria, \(M\) es la masa de la Tierra, \(m\) es la masa del satélite y \(r\) es la distancia entre el centro de la Tierra y el satélite, podemos expresar la fuerza gravitatoria como:
\[G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}\]
Donde \(v\) es la velocidad orbital del satélite. Al simplificar la masa del satélite en ambos lados de la ecuación, obtenemos:
\[G\frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r}\]
Despejando \(r\), el cual representa el radio de la órbita del satélite desde el centro de la Tierra, obtenemos:
\[r = \frac{GMT^2}{4\pi^2}\]
Ahora, como la órbita es circular, podemos relacionar la velocidad orbital \(v\) con el radio de la órbita \(r\) y el período de revolución \(T\) mediante la fórmula \(v = \frac{2\pi r}{T}\). Sustituyendo esta relación en la ecuación para \(r\), obtenemos:
\[r^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}\]
Despejando \(r\), obtenemos el radio de la órbita desde el centro de la Tierra:
\[r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\]
Al calcular este valor, obtenemos \(r \approx 7.9 \times 10^6\) metros. Sin embargo, este valor representa la distancia desde el centro de la Tierra hasta la órbita del satélite. Para encontrar la altura \(h\) sobre la superficie de la Tierra, debemos restar el radio de la Tierra \(R_t = 6.4 \times 10^6\) metros al radio orbital \(r\):
\[h = r – R_t = (7.9 \times 10^6 \text{ m}) – (6.4 \times 10^6 \text{ m}) = 1.5 \times 10^6 \text{ m}\]
Por lo tanto, el satélite se encuentra a una altura de \(1,500\) kilómetros sobre la superficie de la Tierra. Este resultado nos muestra la altitud a la que debe orbitar el satélite para mantener su período de revolución de \(2\) horas.