Para calcular el campo magnético en el interior del solenoide, aplicamos la ley de Ampère. Esta ley establece que la integral cerrada del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada es igual a la permeabilidad magnética del medio multiplicada por la corriente que atraviesa la superficie encerrada por la trayectoria.

Consideremos un rectángulo como el de la figura, e integremos sobre el perímetro del rectángulo:

\[\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \sum I_k\]

Dividimos el recorrido en cuatro tramos: de \(a\) a \(b\), de \(b\) a \(c\), de \(c\) a \(d\), y de \(d\) a \(a\).

La integral a lo largo del recorrido completo es:

\[\int_{a}^{b} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int_{b}^{c} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int_{c}^{d} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int_{d}^{a} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \cdot N \cdot I\]

Donde \(N\) es el número total de vueltas del solenoide y \(I\) es la corriente que lo atraviesa.

Dado que la integral de \(B\) a lo largo del tramo \(d-a\) es igual a la longitud \(L\) del solenoide, podemos simplificar la ecuación a:

\[B \cdot L = \mu_0 \cdot N \cdot I\]

Despejando \(B\), obtenemos:

\[B = \frac{\mu_0 \cdot N \cdot I}{L}\]

Sustituyendo los valores dados:

\[B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot (50 \, \text{vueltas/cm}) \cdot (10 \, \text{A})}{0.01 \, \text{m}}\]

\[B \approx 6.28 \times 10^{-2} \, \text{T}\]

Si el solenoide estuviera lleno de plata, la permeabilidad relativa de la plata (\(\mu_r\)) es aproximadamente \(0.99997\), lo que significa que su efecto en el campo magnético es insignificante. Por lo tanto, el campo magnético en el interior del solenoide lleno de plata seguiría siendo aproximadamente \(6.28 \times 10^{-2} \, \text{T}\). Esto se debe a que la permeabilidad magnética de la plata es cercana a la del vacío, siendo prácticamente igual a \(1\), lo que no altera significativamente el valor del campo magnético en comparación con el caso en que el solenoide no está lleno.