a) Cálculo del flujo magnético (\( \Phi \)) en función del tiempo:

El flujo magnético (\( \Phi \)) a través de una bobina está dado por la fórmula:

\[ \Phi = N \cdot B \cdot S \]

– \( N \) es el número de espiras de la bobina (en este caso, \( N = 20 \)).
– \( B \) es la intensidad del campo magnético.
– \( S \) es el área de la bobina.

Dado que el campo magnético varía con el tiempo de acuerdo con la expresión \( B = 0,02t + 0,08t^2 \), el flujo magnético en función del tiempo será:

\[ \Phi(t) = N \cdot (0,02t + 0,08t^2) \cdot \pi r^2 \]

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

\[ \Phi(t) = 20 \cdot (0,02t + 0,08t^2) \cdot \pi \cdot (0,05)^2 \]

\[ \Phi(t) = 20 \cdot (0,02t + 0,08t^2) \cdot \pi \cdot 0,0025 \]

\[ \Phi(t) = 0,05 \pi \cdot (0,02t + 0,08t^2) \]

Por lo tanto, la expresión del flujo magnético en función del tiempo es:

\[ \Phi(t) = 0,00125 \pi (t + 4t^2) \]

b) Cálculo de la fem inducida (\( \mathcal{E} \)) en la bobina para \( t = 5 \) s:

La fem inducida (\( \mathcal{E} \)) en la bobina está dada por la tasa de cambio del flujo magnético con respecto al tiempo:

\[ \mathcal{E} = – \frac{d\Phi}{dt} \]

Derivando la expresión del flujo magnético respecto al tiempo, obtenemos:

\[ \frac{d\Phi}{dt} = 0,00125 \pi (1 + 8t) \]

Sustituyendo \( t = 5 \) s, obtenemos:

\[ \mathcal{E}_5 = – 0,00125 \pi (1 + 8 \cdot 5) \]

\[ \mathcal{E}_5 = -0,00125 \pi (1 + 40) \]

\[ \mathcal{E}_5 = -0,05125 \pi \]

\[ \mathcal{E}_5 \approx -0,161 V \]

Por lo tanto, la fem inducida en la bobina para \( t = 5 \) s es aproximadamente \( -0,161 \) V.

La fem inducida en la bobina es negativa, lo que indica que la corriente inducida en la bobina fluye en una dirección tal que crea un campo magnético que se opone al cambio en el campo magnético externo que la atraviesa. Esto es una manifestación de la ley de Faraday de la inducción electromagnética.