Una bola de 10 kg está suspendida por dos cuerdas ancladas cada una a una pared, tal como se muestra en la figura. La cuerda A está tensa formando un ángulo de 30º con la vertical. La cuerda B se mantiene tensa en horizontal.
Encuentra las tensiones en las cuerdas A y B.
Tomar g = 9,8 m/s2
Para resolver este problema, primero identifiquemos las fuerzas que actúan sobre la bola. Tenemos el peso de la bola, que actúa hacia abajo, y las fuerzas de tensión en las cuerdas A y B.
1. Peso de la bola:
El peso de la bola, denotado como \( \mathbf{P} \), se calcula como el producto de su masa \( m \) y la aceleración debido a la gravedad \( g \), y actúa en la dirección vertical hacia abajo:
\[ \mathbf{P} = m \cdot \mathbf{g} = -98 \, \text{N} \, \mathbf{j} \]
2. Fuerzas de tensión en las cuerdas:
Las fuerzas de tensión en las cuerdas A y B se denotan como \( \mathbf{T}_a \) y \( \mathbf{T}_b \) respectivamente.
Para la cuerda A, que forma un ángulo de \( 30^\circ \) con la vertical, descomponemos la tensión en componentes horizontal y vertical:
\[ \mathbf{T}_a = -T_a \sin(30^\circ) \, \mathbf{i} + T_a \cos(30^\circ) \, \mathbf{j} \]
Para la cuerda B, que se mantiene tensa en horizontal, la tensión actúa únicamente en la dirección horizontal:
\[ \mathbf{T}_b = T_b \, \mathbf{i} \]
3. Equilibrio de fuerzas:
En equilibrio, la suma vectorial de todas las fuerzas debe ser cero. Esto nos permite plantear un sistema de ecuaciones basado en las componentes horizontal y vertical de las fuerzas.
\[ \begin{cases} -T_a \sin(30^\circ) + T_b = 0 \\ -98 + T_a \cos(30^\circ) = 0 \end{cases} \]
Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos las tensiones en las cuerdas A y B:
\[ T_a = 113.2 \, \text{N}, \quad T_b = 56.6 \, \text{N} \]
4. Sentido físico:
Las tensiones encontradas satisfacen las condiciones de equilibrio del sistema. La cuerda A, que forma un ángulo con la vertical, tiene una mayor tensión que la cuerda B, que se mantiene horizontal. Esto es esperado, ya que la componente vertical de la tensión en la cuerda A debe equilibrar el peso de la bola, mientras que la cuerda B solo necesita proporcionar la fuerza necesaria para mantener la bola en equilibrio horizontalmente.