Solución:
Primero, vamos a analizar el problema utilizando la conservación del momento lineal en ambas direcciones, \(x\) e \(y\). Dado que inicialmente la roca estaba en reposo, el momento lineal total antes de la explosión era cero. Por lo tanto, la suma de los momentos lineales de los fragmentos después de la explosión también debe ser cero.

Paso 1: Representación Gráfica
Dibujemos un diagrama para visualizar las direcciones y sentidos de los fragmentos:

– Fragmento 1: Masa \( m_1 = 1 \, \text{kg} \), velocidad \( v_1 = 12 \, \text{m/s} \) en la dirección \(+x\).
– Fragmento 2: Masa \( m_2 = 2 \, \text{kg} \), velocidad \( v_2 = 8 \, \text{m/s} \) en la dirección \(+y\).
– Fragmento 3: Masa \( m_3 \), velocidad \( v_3 = 40 \, \text{m/s} \).

Dado que los fragmentos 1 y 2 están en ángulo recto, podemos usar la conservación del momento lineal para encontrar la dirección y la masa del tercer fragmento.

Conservación del Momento Lineal

En el eje \(x\):

\[ 0 = m_1 v_1 + m_3 v_{3x} \]

\[ 0 = (1 \, \text{kg})(12 \, \text{m/s}) + m_3 v_{3x} \]

\[ 0 = 12 \, \text{kg m/s} + m_3 v_{3x} \]

\[ m_3 v_{3x} = -12 \, \text{kg m/s} \]

En el eje \(y\):

\[ 0 = m_2 v_2 + m_3 v_{3y} \]

\[ 0 = (2 \, \text{kg})(8 \, \text{m/s}) + m_3 v_{3y} \]

\[ 0 = 16 \, \text{kg m/s} + m_3 v_{3y} \]

\[ m_3 v_{3y} = -16 \, \text{kg m/s} \]

La magnitud del momento lineal del tercer fragmento se calcula usando el teorema de Pitágoras:

\[ p_3 = \sqrt{(m_3 v_{3x})^2 + (m_3 v_{3y})^2} \]

\[ p_3 = \sqrt{(-12 \, \text{kg m/s})^2 + (-16 \, \text{kg m/s})^2} \]

\[ p_3 = \sqrt{144 + 256} \]

\[ p_3 = \sqrt{400} \]

\[ p_3 = 20 \, \text{kg m/s} \]

Sabemos que el tercer fragmento tiene una velocidad de \(40 \, \text{m/s}\):

\[ p_3 = m_3 v_3 \]

\[ 20 \, \text{kg m/s} = m_3 (40 \, \text{m/s}) \]

\[ m_3 = \frac{20 \, \text{kg m/s}}{40 \, \text{m/s}} \]

\[ m_3 = 0.5 \, \text{kg} \]

La dirección del tercer fragmento se puede determinar calculando el ángulo \(\theta\) que forma con el eje \(+x\):

\[ \tan(\theta) = \frac{v_{3y}}{v_{3x}} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{-16}{-12} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{4}{3} \]

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \]

\[ \theta \approx 53.13^\circ \]

La dirección del tercer fragmento suponemos que es en el cuarto cuadrante, así que el ángulo con respecto al eje positivo \(x\) es:

\[ \theta = 360^\circ – 53.13^\circ = 306.87^\circ \]

El tercer fragmento sale con un ángulo de \(306.87^\circ\) con respecto al eje positivo \(x\) o \(233.13^\circ\) con respecto al eje positivo \(y\).

Sumamos las masas de los tres fragmentos para encontrar la masa total de la roca:

\[ m_T = m_1 + m_2 + m_3 \]

\[ m_T = 1 \, \text{kg} + 2 \, \text{kg} + 0.5 \, \text{kg} \]

\[ m_T = 3.5 \, \text{kg} \]