Nuestra partícula tiene una masa de \( m = 2 \) kg. En un determinado instante, su posición está dada por el vector \( \mathbf{r} = 3\hat{i} + 1\hat{j} \) metros. En ese mismo instante, la velocidad de la partícula es \( \mathbf{v} = 2\hat{i} \) metros por segundo.

a) Cantidad de movimiento de la partícula

La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad:

\[
\mathbf{p} = m \cdot \mathbf{v}
\]

Sustituyendo los valores que conocemos:

\[
\mathbf{p} = 2 \text{ kg} \times (2\hat{i} \text{ m/s})
\]

\[
\mathbf{p} = 4\hat{i} \text{ kg·m/s}
\]

Esto significa que la partícula se está moviendo con una cantidad de movimiento de \( 4 \hat{i} \) kg·m/s en la dirección del eje X. No hay componentes en las direcciones \( \hat{j} \) o \( \hat{k} \), lo que implica que todo el movimiento ocurre en la dirección \( \hat{i} \) (eje X).

 b) Momento angular respecto al origen

El momento angular \( \mathbf{L} \) de una partícula respecto a un punto (en este caso, el origen) se calcula mediante el producto vectorial entre el vector de posición \( \mathbf{r} \) y el momento lineal \( \mathbf{p} \):

\[
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}
\]

Sustituyendo los vectores que hemos calculado y conocido:

\[
\mathbf{r} = 3\hat{i} + 1\hat{j} \text{ m}
\]
\[
\mathbf{p} = 4\hat{i} \text{ kg·m/s}
\]

El producto vectorial \( \mathbf{r} \times \mathbf{p} \) se puede calcular utilizando la regla del determinante para productos cruzados en tres dimensiones. El determinante de una matriz \( 3 \times 3 \) es la manera más directa de hacerlo.

Primero, construimos la matriz:

\[
\mathbf{L} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
3 & 1 & 0 \\
4 & 0 & 0
\end{vmatrix}
\]

Ahora, resolvemos este determinante:

\[
\mathbf{L} = \hat{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} – \hat{j} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}
\]

Calculamos los determinantes menores:

\[
\mathbf{L} = \hat{i} (1 \cdot 0 – 0 \cdot 0) – \hat{j} (3 \cdot 0 – 4 \cdot 0) + \hat{k} (3 \cdot 0 – 4 \cdot 1)
\]

Simplificamos:

\[
\mathbf{L} = 0\hat{i} – 0\hat{j} – 4\hat{k}
\]

Por lo tanto:

\[
\mathbf{L} = -4\hat{k} \text{ kg·m\(^2\)/s}
\]

El momento angular apunta en la dirección negativa del eje Z, lo que indica una tendencia a girar en un plano perpendicular a ese eje.

c) Nuevo caso: Velocidad \( \mathbf{v} = \hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k} \) m/s

Ahora, la velocidad es \( \mathbf{v} = \hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k} \) m/s. Esto significa que la partícula se mueve en una dirección más compleja, en tres dimensiones.

Primero, calculemos la nueva cantidad de movimiento:

\[
\mathbf{p} = m \cdot \mathbf{v} = 2 \text{ kg} \times (\hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ m/s}
\]

Multiplicamos:

\[
\mathbf{p} = 2\hat{i} – 4\hat{j} + 6\hat{k} \text{ kg·m/s}
\]

Ahora, vamos a calcular el momento angular con el mismo método del producto cruzado:

\[
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
3 & 1 & 0 \\
2 & -4 & 6
\end{vmatrix}
\]

Desglosando el determinante:

\[
\mathbf{L} = \hat{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 6 \end{vmatrix} – \hat{j} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -4 \end{vmatrix}
\]

Calculamos los determinantes menores:

\[
\mathbf{L} = \hat{i} (1 \cdot 6 – 0 \cdot -4) – \hat{j} (3 \cdot 6 – 0 \cdot 2) + \hat{k} (3 \cdot -4 – 1 \cdot 2)
\]

Simplificando:

\[
\mathbf{L} = 6\hat{i} – 18\hat{j} – 14\hat{k} \text{ kg·m\(^2\)/s}
\]

En este nuevo escenario, la cantidad de movimiento es \( \mathbf{p} = 2\hat{i} – 4\hat{j} + 6\hat{k} \) kg·m/s y el momento angular es \( \mathbf{L} = 6\hat{i} – 18\hat{j} – 14\hat{k} \) kg·m\(^2\)/s.