a) Cálculo de la energía mecánica:

La energía mecánica total de una partícula en un movimiento armónico simple se compone de su energía cinética y su energía potencial elástica. Utilizamos la siguiente relación:

\[ E_m = E_c + E_p \]

Sabemos que para un oscilador armónico, la constante elástica \( k \) se relaciona con la masa \( m \) y la frecuencia angular \( \omega \) mediante la relación \( k = m \cdot \omega^2 \).

Dado que \( A = 0.2 \) m y \( \omega = 2 \) rad/s, podemos calcular \( k \) utilizando la relación anterior:

\[ k = m \cdot \omega^2 = (0.1 \, \text{kg}) \cdot (2 \, \text{rad/s})^2 = 0.4 \, \text{N/m} \]

Ahora, podemos calcular la energía mecánica total utilizando la fórmula proporcionada:

\[ E_m = \frac{1}{2} k A^2 \]

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

\[ E_m = \frac{1}{2} (0.4 \, \text{N/m}) \cdot (0.2 \, \text{m})^2 = 0.008 \, \text{J} \]

Entonces, la energía mecánica total de la partícula es de \( 0.008 \, \text{J} \).

b) Determinación y representación gráfica de las energías potencial y cinética:

Para representar gráficamente las energías potencial y cinética en función de la elongación \( x \), primero necesitamos expresiones para \( E_c \) y \( E_p \).

La energía cinética se relaciona con la elongación \( x \) mediante la fórmula \( E_c = \frac{1}{2} k (A^2 – x^2) \), mientras que la energía potencial elástica es \( E_p = \frac{1}{2} k x^2 \).

Ahora, podemos trazar estas funciones en un gráfico con \( x \) en el eje horizontal y \( E_c \) y \( E_p \) en el eje vertical. La suma de \( E_c \) y \( E_p \) en cualquier punto debe ser igual a la energía mecánica total \( E_m \).

La energía total del sistema permanece constante durante todo el movimiento armónico simple, como es típico en sistemas conservativos.

La representación gráfica de las energías potencial y cinética en función de la elongación \( x \) revela que, conforme la partícula oscila, la energía cinética varía de manera inversamente proporcional a la energía potencial, alcanzando su máximo cuando la energía potencial es mínima y viceversa.

Puedes verificarlo tú mismo en la siguiente simulación de una masa sujeta a un resorte. Al hacerla oscilar, podrás observar cómo la energía cinética y la energía potencial cambian, mientras que la energía mecánica permanece constante.

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