Una pelota de fútbol es pateada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 14 m/s
Pregunta 1: ¿Hasta qué altura llegará la pelota?
Pregunta 2: ¿Qué tiempo le tomará a la pelota alcanzar esa altura máxima?
AinaraNovato
Una pelota de fútbol es pateada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 14m/s
Compartir
Vamos a resolver este problema de dos maneras diferentes:
Tú decides cuál método es mejor o más fácil de entender, o cuál es el que desarrolla tu profesor/a.
Cinemática
Pregunta 1: ¿Hasta qué altura llegará la pelota?
Fíjate que no nos dan el tiempo, bueno es una variable que tenemos que calcular después, pero en el MRUA tenemos una fórmula que combian las velocidades y distancia recorrida que es independiente del tiempo.
\[
V^2 = V_0^2 – 2gh
\]
– \(V\) es la velocidad final (0 m/s en la altura máxima).
– \(V_0\) es la velocidad inicial (14 m/s).
– \(g\) tomaremos 9.8 m/s².
– \(h\) es la altura máxima que vamos a calcular.
La clave deeste ejercicio es entender que cuando la pelota alcanza la altura máxima, la velocidad final \(V\) es 0. Asi que podemos reescribimos la ecuación para \(h\) y despejar:
\[
0 = (14 \, \text{m/s})^2 – 2 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot h
\]
\[
h = \frac{(14 \, \text{m/s})^2}{2 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
h = \frac{196 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{19.6 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
h = 10 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la pelota alcanzará una altura máxima de 10 metros.
Pregunta 2: ¿Qué tiempo le tomará a la pelota alcanzar esa altura?
Para encontrar el tiempo que le toma a la pelota llegar a la altura máxima, usamos la ecuación de la velocidad en función del tiempo:
\[
V = V_0 – gt
\]
Como antes, sabiendo que en la altura máxima, la velocidad \(V\) es 0. Reescribimos la ecuación para \(t\):
\[
0 = 14 \, \text{m/s} – 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot t
\]
\[
t = \frac{14 \, \text{m/s}}{9.8 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
t = \frac{14}{9.8}
\]
\[
t \approx 1.43 \, \text{s}
\]
Por lo tanto, le tomará aproximadamente 1.43 segundos a la pelota alcanzar la altura máxima de 10 metros.
Solución Aplicando el Principio de Conservación de la Energía
Aunque pueda parecer redundante, resolver el problema utilizando el principio de conservación de la energía nos proporciona una comprensión más profunda del proceso físico y del comportamiento del sistema.
Para aplicar este principio, consideramos que la energía mecánica total en el sistema se conserva. Esto significa que la energía cinética inicial se transforma completamente en energía potencial gravitatoria en la altura máxima. Dado que la energía cinética (\(E_k\)) se iguala a la energía potencial (\(E_p\)) en el punto más alto, podemos determinar la altura máxima alcanzada por el objeto.
Pregunta 1: ¿Hasta qué altura llegará la pelota?
La energía cinética inicial (\(E_k\)) de la pelota al ser pateada se puede calcular usando la fórmula:
\[
E_k = \frac{1}{2} m V_0^2
\]
En la altura máxima, toda la energía cinética inicial se transforma en energía potencial gravitatoria (\(E_p\)), dada por:
\[
E_p = mgh
\]
Como la energía se conserva:
\[
E_k = E_p
\]
\[
\frac{1}{2} m V_0^2 = mgh
\]
Cancelamos la masa (\(m\)) de ambos lados de la ecuación. Fíjate en el detalle. La masa no influye en el problema, no importa si la pelota pesa 1 kilo o 2000 kilos.
\[
\frac{1}{2} V_0^2 = gh
\]
Despejamos \(h\):
\[
h = \frac{V_0^2}{2g}
\]
\[
h = \frac{(14 \, \text{m/s})^2}{2 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
h = \frac{196 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{19.6 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
h = 10 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la pelota alcanzará una altura máxima de 10 metros.
Pregunta 2: ¿Qué tiempo le tomará a la pelota alcanzar esa altura?
Para encontrar el tiempo que le toma a la pelota alcanzar la altura máxima, utilizamos la relación de la velocidad en función del tiempo para un movimiento uniformemente acelerado, igual que en el método anterior resuelto por cinemática. Sabemos que la velocidad final \(V\) en la altura máxima es 0:
\[
V = V_0 – gt
\]
Despejamos \(t\):
\[
t = \frac{V_0}{g}
\]
\[
t = \frac{14 \, \text{m/s}}{9.8 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
t \approx 1.43 \, \text{s}
\]
Por lo tanto, le tomará aproximadamente 1.43 segundos a la pelota alcanzar la altura máxima de 10 metros.
Ver mas problemas de lanzamiento vertical resueltos