Para resolver este problema, utilizaremos las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) o retardado. Estas ecuaciones son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), pero aplicadas a objetos que se mueven en un círculo con velocidad angular constante o cambiante.

Dado el enunciado, se tiene una rueda que gira inicialmente a una velocidad angular de 300 rpm y se detiene completamente después de 10 segundos.

1. Cálculo de la aceleración angular (α):

La velocidad angular inicial (\( \omega_0 \)) se da en revoluciones por minuto (rpm), pero necesitamos convertirla a radianes por segundo (rad/s) ya que la aceleración angular (\( \alpha \)) se expresa en radianes por segundo al cuadrado (rad/s²). Utilizamos la relación \( 1 \, \text{rpm} = \frac{\pi}{30} \, \text{rad/s} \) para la conversión:

\[ \omega_0 = 300 \, \text{rpm} \times \frac{\pi}{30} \, \text{rad/s} = 10\pi \, \text{rad/s} \]

La velocidad angular final (\( \omega \)) es cero, ya que la rueda se detiene. Utilizamos la ecuación de MCUA para calcular la aceleración angular:

\[ \alpha = \frac{\omega – \omega_0}{t} = \frac{0 – 10\pi \, \text{rad/s}}{10 \, \text{s}} = -\pi \, \text{rad/s}^2 \]

La aceleración angular es negativa, lo que indica que la rueda está frenando, es decir, su velocidad angular está disminuyendo.

2. Cálculo de la velocidad angular a los 3 segundos después de comenzar el frenado:

Utilizamos la misma relación de conversión para obtener la velocidad angular inicial (\( \omega_0 \)) en rad/s:

\[ \omega_0 = 300 \, \text{rpm} \times \frac{\pi}{30} \, \text{rad/s} = 10\pi \, \text{rad/s} \]

Utilizamos la ecuación de MCUA para calcular la velocidad angular (\( \omega \)) a los 3 segundos, considerando que la aceleración angular es constante:

\[ \omega = \omega_0 + \alpha \cdot t = 10\pi \, \text{rad/s} – \pi \, \text{rad/s}^2 \cdot 3 \, \text{s} = 7\pi \, \text{rad/s} \]

La velocidad angular a los 3 segundos después de comenzar el frenado es de \( 7\pi \, \text{rad/s} \).

3. Cálculo del número de vueltas que da la rueda hasta que frena:

Sabemos que la rueda se detiene completamente después de 10 segundos. Utilizamos la ecuación de MCUA para el movimiento angular, teniendo en cuenta que la velocidad angular inicial es \( 10\pi \, \text{rad/s} \) y la aceleración angular es \( -\pi \, \text{rad/s}^2 \):

\[ \omega = \omega_0 + \alpha \cdot t \]

Como la rueda se detiene (\( \omega = 0 \)), podemos despejar el tiempo (\( t \)) y calcular el ángulo recorrido. Después, convertimos este ángulo a vueltas:

\[ t = \frac{\omega – \omega_0}{\alpha} = \frac{0 – 10\pi \, \text{rad/s}}{-\pi \, \text{rad/s}^2} = 10 \, \text{s} \]

Ahora, usamos la ecuación de la posición angular para calcular el ángulo recorrido:

\[ \theta = \omega_0 \cdot t + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2 = (10\pi \, \text{rad/s}) \cdot (10 \, \text{s}) + \frac{1}{2} (-\pi \, \text{rad/s}^2) \cdot (10 \, \text{s})^2 \]
\[ \theta = 100\pi \, \text{rad} – 50\pi \, \text{rad} = 50\pi \, \text{rad} \]

Finalmente, convertimos los radianes a vueltas dividiendo por \( 2\pi \, \text{rad/vuelta} \):

\[ \text{Número de vueltas} = \frac{50\pi \, \text{rad}}{2\pi \, \text{rad/vuelta}} = 25 \, \text{vueltas} \]

La rueda da \( 25 \) vueltas hasta que frena completamente.

En resumen, la aceleración angular es \( -\pi \, \text{rad/s}^2 \), la velocidad angular a los 3 segundos es \( 7\pi \, \text{rad/s} \), y la rueda da \( 25 \) vueltas hasta detenerse por completo. La aceleración negativa indica que la rueda está frenando, lo que es coherente con el enunciado del problema. El resultado de 25 vueltas para detenerse puede parecer elevado, pero depende del tamaño y la inercia de la rueda.