Para resolver este problema, primero necesitamos comprender el movimiento del balón de fútbol tanto en el plano horizontal como en el vertical. Utilizaremos las ecuaciones del movimiento parabólico para calcular la velocidad inicial necesaria para el alcance máximo y luego determinar la distancia horizontal a la que se encuentra el balón en un momento específico.

a) Cálculo de la velocidad inicial para el alcance máximo:

En el lanzamiento del balón con un ángulo de \(45^\circ\) respecto a la horizontal, utilizamos la ecuación del alcance máximo para calcular la velocidad inicial (\(v_0\)) necesaria para que el balón llegue al otro extremo del campo de 100 m de largo.

\[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \]

Para \( \alpha = 45^\circ \), \( \sin(2\alpha) = \sin(90^\circ) = 1 \).

Por lo tanto, la ecuación se reduce a:

\[ R = \frac{v_0^2}{g} \]

Dado que \( R = 100 \, \text{m} \) y \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \), resolvemos para \( v_0 \):

\[ v_0 = \sqrt{R \cdot g} = \sqrt{100 \, \text{m} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2} \approx 31,30 \, \text{m/s} \]

La velocidad inicial necesaria para alcanzar el otro extremo del campo es aproximadamente \(31,30 \, \text{m/s}\).

b) Determinación de la distancia horizontal a 1,80 m sobre el suelo:

Para encontrar la distancia horizontal a la que se encuentra el balón cuando está a 1,80 m sobre el suelo, utilizamos las ecuaciones del movimiento del balón tanto en el eje vertical como en el eje horizontal.

Las ecuaciones del movimiento del balón son:
– \( y = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2 \) (en el eje vertical)
– \( x = v_{0x} t \) (en el eje horizontal)

Dado que el balón está a una altura de 1,80 m sobre el suelo, sustituimos \( y = 1,80 \, \text{m} \) y \( v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) \) en la ecuación del movimiento vertical.

Despejamos \( t \) de la ecuación del movimiento vertical para obtener los tiempos de vuelo \( t_1 \) y \( t_2 \).

\[ 1,80 \, \text{m} = (v_0 \sin(\alpha)) t – \frac{1}{2} g t^2 \]

Dado que \( v_0 = 31,30 \, \text{m/s} \), \( \alpha = 45^\circ \), \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \), podemos sustituir estos valores en la ecuación:

\[ 1,80 \, \text{m} = (31,30 \, \text{m/s} \cdot \sin(45^\circ)) t – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2 \]

\[ 1,80 \, \text{m} = (31,30 \, \text{m/s} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) t – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2 \]

\[ 1,80 \, \text{m} = (22,13 \, \text{m/s}) t – 4,9 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2 \]

Esto nos da una ecuación cuadrática en \( t \), que es:

\[ -4,9 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2 + 22,13 \, \text{m/s} \cdot t – 1,80 \, \text{m} = 0 \]

\( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \), donde \( a = -4,9 \, \text{m/s}^2 \), \( b = 22,13 \, \text{m/s} \) y \( c = -1,80 \, \text{m} \)

\[ t = \frac{-22,13 \, \text{m/s} \pm \sqrt{(22,13 \, \text{m/s})^2 – 4(-4,9 \, \text{m/s}^2)(-1,80 \, \text{m})}}{2(-4,9 \, \text{m/s}^2)} \]

Obtenemos dos valores:

\[ t_1 \approx 0,083 \, \text{s} \]
\[ t_2 \approx 4,43 \, \text{s} \]

Estos son los dos tiempos en los que el balón está a una altura de 1,80 m sobre el suelo. Ahora con estos valores podemos calcular las posiciones horizontales correspondientes \( x_1 \) y \( x_2 \) utilizando la ecuación del movimiento horizontal:

\[ x = v_{0x} t \]

Donde \( v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) \).

Recordemos que \( v_0 = 31,30 \, \text{m/s} \) y \( \alpha = 45^\circ \).

Primero, calcularemos \( v_{0x} \):

\[ v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) = 31,30 \, \text{m/s} \times \cos(45^\circ) \]

\[ v_{0x} = 31,30 \, \text{m/s} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ v_{0x} = 22,13 \, \text{m/s} \]

Ahora, sustituimos \( t_1 \) y \( t_2 \) en la ecuación del movimiento horizontal para obtener \( x_1 \) y \( x_2 \):

Para \( t_1 \approx 0,083 \, \text{s} \):

\[ x_1 = 22,13 \, \text{m/s} \times 0,083 \, \text{s} \]

\[ x_1 \approx 1,83 \, \text{m} \]

Para \( t_2 \approx 4,43 \, \text{s} \):

\[ x_2 = 22,13 \, \text{m/s} \times 4,43 \, \text{s} \]

\[ x_2 \approx 98,05 \, \text{m} \]

Estos son las distancias horizontales a las que se encuentra el balón cuando está a una altura de 1,80 m sobre el suelo, correspondientes a los tiempos \( t_1 \) y \( t_2 \) respectivamente.